Esercizio con numeri complessi!...soluzioni
ciao a tutti, vorrei sapere le soluzioni della seguente equazione per sapere se come l'ho risolta io è corretto:
$( 3z + \bar(z) )^4 = -1$ dove $\bar(z)$ è il coniugato di $z$.
grazie millle.
$( 3z + \bar(z) )^4 = -1$ dove $\bar(z)$ è il coniugato di $z$.
grazie millle.
Risposte
Scusa non fai prima a postare il tuo procedimento e aspettare che qualcuno, nell'eventualità sia sbagliato, lo corregga!?
...anche perchè è più facile che qualcuno te lo controlli piuttosto che te lo faccia... a meno che non lo paghi eheh! 
In effetti, se l'hai già risolto conviene postare direttamente la soluzione.
Comunque, dal problema è evidente che il termine entro parentesi sono le radici quarte di -1, quindi [tex]3z+\bar{z}=e^{i\frac{2k+1}{4}\pi}[/tex], [tex](k=0,1,2,3)[/tex], e diventa un'equazione di primo grado. Se [tex]z=x+iy[/tex], allora [tex]4x+2iy=e^{i\frac{2k+1}{4}[/tex], le cui soluzioni sono [tex]\frac{1}{4}\cos\frac{2k+1}{4}\pi+i\frac{1}{2}\sin\frac{2k+1}{4}\pi[/tex], ovvero [tex]\pm\frac{\sqrt{2}}{8}\pm i \frac{\sqrt{2}}{4}[/tex], con tutte le possibili combinazioni di segni.
Comunque, dal problema è evidente che il termine entro parentesi sono le radici quarte di -1, quindi [tex]3z+\bar{z}=e^{i\frac{2k+1}{4}\pi}[/tex], [tex](k=0,1,2,3)[/tex], e diventa un'equazione di primo grado. Se [tex]z=x+iy[/tex], allora [tex]4x+2iy=e^{i\frac{2k+1}{4}[/tex], le cui soluzioni sono [tex]\frac{1}{4}\cos\frac{2k+1}{4}\pi+i\frac{1}{2}\sin\frac{2k+1}{4}\pi[/tex], ovvero [tex]\pm\frac{\sqrt{2}}{8}\pm i \frac{\sqrt{2}}{4}[/tex], con tutte le possibili combinazioni di segni.
si avete ragione...ma non sono molto pratico della scrittura con la TeX!
comunque io avevo risolto elevando alla radice quarta -1 e diventa:
4a + 2bi = +/- (1/sqrt(2) + i 1/sqrt(2) ) => 4a - 1/sqrt(2) + (2b-1/sqrt(2))i = 0 e 4a + 1/sqrt(2) + (2b+1/sqrt(2))i = 0
a sto punto ho svolto 2 sistemi ponendo ponendo per ogni sistema la parte immaginaria =0 e la parte reale =0. mi risulta quindi: z1=sqrt(2)/8+i sqrt(2)/4
e z2= - sqrt(2)/8 - i sqrt(2)/4
credo xò di aver capito più o meno xk è sbagliato...[/tex]
comunque io avevo risolto elevando alla radice quarta -1 e diventa:
4a + 2bi = +/- (1/sqrt(2) + i 1/sqrt(2) ) => 4a - 1/sqrt(2) + (2b-1/sqrt(2))i = 0 e 4a + 1/sqrt(2) + (2b+1/sqrt(2))i = 0
a sto punto ho svolto 2 sistemi ponendo ponendo per ogni sistema la parte immaginaria =0 e la parte reale =0. mi risulta quindi: z1=sqrt(2)/8+i sqrt(2)/4
e z2= - sqrt(2)/8 - i sqrt(2)/4
credo xò di aver capito più o meno xk è sbagliato...[/tex]
Prova a leggere il topic relativo a come si scrivono le formule (clicca su formule)^^
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