Esercizio con moltiplicatori di Lagrange
Salve, volevo chiedere una cortesia.
Ho questo esercizio: massimizzare la funzione $f=2xy$ sotto il vincolo $x^2+4y^2=32$.
Scrivo la funzione lagrangiana, mi calcolo le derivate rispetto a $x$, $y$ e al moltiplicatore $λ$, le pongo $=0$ e mi viene il seguente sistema:
$2y-2λx=0$
$2x-8λy=0$
$x^2+4y^2-32=0$
Bene. Risolvo il sistema e mi trovo 4 punti: $P1=(-4;2)$, $P2=(-4;-2)$, $P3=(4,-2)$, $P4=(4,2)$. Fino a qui tutto bene.
Il problema è che dove ho visto questo esercizio, si dà come soluzione anche $P5=(0,-2sqrt(2))$ e $P6=(0,2sqrt(2))$.
Questi punti io li trovo, e precisamente nel caso $x=0$ (uno dei due casi che si ottengono dalla seconda equazione). Sostituendo $x=0$ nella terza equazione ottengo $y=-2sqrt(2)$ e $y=2sqrt(2)$.
Però secondo me non sono soluzioni accettabili perchè sostituendo $x=0$ e $y=+-2sqrt(2)$ o $y=-2sqrt(2)$ nella prima, ho $+$ o $-sqrt(2)=0$. Quindi non solo così non riesco a trovare un valore per $λ$, ma la prima equazione non è verificata (si dice così quando ho 0=numero, vero?). O sbaglio? Quindi secondo me $P5$ e $P6$ non sono soluzioni accettabili. È così oppure ha ragione chi dice che sono delle soluzioni?
ps. A breve devo fare un esame in cui c'è un esercizio del genere e sto ancora imparando, quindi avrei assolutamente bisogno di sapere in questo caso quali sono le soluzioni per capire come procedere in generale. Grazie in anticipo a chi mi aiuterà.
Ho questo esercizio: massimizzare la funzione $f=2xy$ sotto il vincolo $x^2+4y^2=32$.
Scrivo la funzione lagrangiana, mi calcolo le derivate rispetto a $x$, $y$ e al moltiplicatore $λ$, le pongo $=0$ e mi viene il seguente sistema:
$2y-2λx=0$
$2x-8λy=0$
$x^2+4y^2-32=0$
Bene. Risolvo il sistema e mi trovo 4 punti: $P1=(-4;2)$, $P2=(-4;-2)$, $P3=(4,-2)$, $P4=(4,2)$. Fino a qui tutto bene.
Il problema è che dove ho visto questo esercizio, si dà come soluzione anche $P5=(0,-2sqrt(2))$ e $P6=(0,2sqrt(2))$.
Questi punti io li trovo, e precisamente nel caso $x=0$ (uno dei due casi che si ottengono dalla seconda equazione). Sostituendo $x=0$ nella terza equazione ottengo $y=-2sqrt(2)$ e $y=2sqrt(2)$.
Però secondo me non sono soluzioni accettabili perchè sostituendo $x=0$ e $y=+-2sqrt(2)$ o $y=-2sqrt(2)$ nella prima, ho $+$ o $-sqrt(2)=0$. Quindi non solo così non riesco a trovare un valore per $λ$, ma la prima equazione non è verificata (si dice così quando ho 0=numero, vero?). O sbaglio? Quindi secondo me $P5$ e $P6$ non sono soluzioni accettabili. È così oppure ha ragione chi dice che sono delle soluzioni?
ps. A breve devo fare un esame in cui c'è un esercizio del genere e sto ancora imparando, quindi avrei assolutamente bisogno di sapere in questo caso quali sono le soluzioni per capire come procedere in generale. Grazie in anticipo a chi mi aiuterà.
Risposte
Ma perché è l'unica discussione senza risposta 
Non passo nemmeno questo esame, ho capito
Non passo nemmeno questo esame, ho capito
Ahah, speriamo di no, dai!
La seconda equazione che hai messo a sistema è errata; poi non ho controllato il resto.
La seconda equazione che hai messo a sistema è errata; poi non ho controllato il resto.
"seb":
Ahah, speriamo di no, dai!
La seconda equazione che hai messo a sistema è errata; poi non ho controllato il resto.
Ho corretto. Quello che mi interessa sapere è: se mi trovo un punto che poi mi rende non verificata un'altra equazione (in questo caso la prima), il punto è una soluzione accettabile o no?
La Lagrangiana è
$$L(x,y,\lambda)=2xy-\lambda(x^2+4y^2-32)$$
per cui le equazioni da risolvere sono
$$2y-2\lambda x=0\quad 2x-8\lambda y=0,\quad x^2+4y^2=32$$
Se utilizzi le prime due ottieni
$$y=\lambda x\ \Rightarrow\ x(1-4\lambda^2)=0$$
Ora, ovviamente $x=0$ non è accettabile (ne verrebbe $y=0$ e l'origine non appartiene al vincolo). Per cui deve essere
$$1-4\lambda^2=0\ \Rightarrow\ \lambda=\pm\frac{1}{2}$$
da cui si ha $y=\pm\frac{x}{2}$ e sostituendo nel vincolo
$$x^2+4\frac{x^2}{4}=32\ \Rightarrow\ 2x^2=32\ \Rightarrow\ x=\pm4$$
Pertanto hai i quattro punti
$$A(4,2),\quad B(-4,2),\quad C(-4,-2),\quad D(4,-2)$$
Riesci a concludere adesso?
$$L(x,y,\lambda)=2xy-\lambda(x^2+4y^2-32)$$
per cui le equazioni da risolvere sono
$$2y-2\lambda x=0\quad 2x-8\lambda y=0,\quad x^2+4y^2=32$$
Se utilizzi le prime due ottieni
$$y=\lambda x\ \Rightarrow\ x(1-4\lambda^2)=0$$
Ora, ovviamente $x=0$ non è accettabile (ne verrebbe $y=0$ e l'origine non appartiene al vincolo). Per cui deve essere
$$1-4\lambda^2=0\ \Rightarrow\ \lambda=\pm\frac{1}{2}$$
da cui si ha $y=\pm\frac{x}{2}$ e sostituendo nel vincolo
$$x^2+4\frac{x^2}{4}=32\ \Rightarrow\ 2x^2=32\ \Rightarrow\ x=\pm4$$
Pertanto hai i quattro punti
$$A(4,2),\quad B(-4,2),\quad C(-4,-2),\quad D(4,-2)$$
Riesci a concludere adesso?
Grazie Ciampax. Quindi era come dicevo io: gli altri due punti non sono accettabili.
Un'ultima cosa, che ho già scritto sopra: se erroneamente giungessi proprio a trovarmi in una situazione del genere, dove trovo un punto che in realtà non posso prendere come soluzione, posso accorgermene sostituendolo in una delle equazioni del sistema che non si riferiscono ai vincoli per vedere se le uguaglianze sono rispettate (e se non sono rispettate allora il punto non è accettabile), o è concettualmente sbagliato fare ciò? Perchè io mi sono accorto che quelle soluzioni erano sbagliate facendo così...
Un'ultima cosa, che ho già scritto sopra: se erroneamente giungessi proprio a trovarmi in una situazione del genere, dove trovo un punto che in realtà non posso prendere come soluzione, posso accorgermene sostituendolo in una delle equazioni del sistema che non si riferiscono ai vincoli per vedere se le uguaglianze sono rispettate (e se non sono rispettate allora il punto non è accettabile), o è concettualmente sbagliato fare ciò? Perchè io mi sono accorto che quelle soluzioni erano sbagliate facendo così...
Ovviamente...In un sistema di equazioni stai cercando tutte e sole le soluzioni che soddisfano contemporaneamente ciascuna delle equazioni.
Ok grazie.
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