Esercizio con modulo di numero complesso
Ciao a tutti, mi servirebbe aiuto per trovare le soluzioni di questo esercizio: $z^4=-2/|z|$
Non riesco a capire come muovermi dato che non riesco a trovare né modulo ne argomento.
È giusto considerare $a=-2$ se $z=a+ib$? E come faccio a trovare il valore di b?
Grazie mille in anticipo
Non riesco a capire come muovermi dato che non riesco a trovare né modulo ne argomento.
È giusto considerare $a=-2$ se $z=a+ib$? E come faccio a trovare il valore di b?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Ovviamente, no.
Perché dici che non è possibile ricavare il modulo?
Quanto vale $|z^4|$? E quanto è il modulo di $-2/|z|$?
E, se $z$ è soluzione dell'equazione, che relazione deve esserci tra $|z^4|$ e $|-2/|z||$?
P.S.: Non pensare nemmeno per un secondo di passare in forma algebrica.
Esprimi tutto in funzione di $|z|$.
Perché dici che non è possibile ricavare il modulo?
Quanto vale $|z^4|$? E quanto è il modulo di $-2/|z|$?
E, se $z$ è soluzione dell'equazione, che relazione deve esserci tra $|z^4|$ e $|-2/|z||$?
P.S.: Non pensare nemmeno per un secondo di passare in forma algebrica.
Esprimi tutto in funzione di $|z|$.
Se ho ben interpretato i tuoi consigli, dovrebbe risultarmi $|z|^4=2/|z|$ e quindi $|z|^5=2$. Me lo confermi?
$|z|^5=2$ equivale a dire $z^5=2$ dato che 2 è un numero positivo.
Da qui mi calcolo $r=2$ e l'angolo che vale 0 e applico de Moivre.
Le soluzioni sono quindi 5.
È giusto come ragionamento o mi sfugge qualche altro passaggio/regola?
$|z|^5=2$ equivale a dire $z^5=2$ dato che 2 è un numero positivo.
Da qui mi calcolo $r=2$ e l'angolo che vale 0 e applico de Moivre.
Le soluzioni sono quindi 5.
È giusto come ragionamento o mi sfugge qualche altro passaggio/regola?
"ccc":
Le soluzioni sono quindi 5.
Non mi risulta...
Osserverei preliminarmente che $z = 0 $ non può essere soluzione dell'equazione proposta, poi scriverei $z = |z|e^{i\theta} \implies z^4 = |z|^4 e^{i 4\theta} $
E poi come procedo?
Con de Moivre ottengo 5 soluzioni.
Se invece imposto $z^4=|z|^4e^(i4®)$, è giusto dire che $z^4=(2/|z|)e^(i4®)$?
L'angolo vale 0 e r=2 come detto prima?
(Ho indicato l'angolo con ® perché non riesco ad inserire il simbolo)
Con de Moivre ottengo 5 soluzioni.
Se invece imposto $z^4=|z|^4e^(i4®)$, è giusto dire che $z^4=(2/|z|)e^(i4®)$?
L'angolo vale 0 e r=2 come detto prima?
(Ho indicato l'angolo con ® perché non riesco ad inserire il simbolo)
"ccc":
E poi come procedo?
Beh, considerando
$|z|^5 e^{i4\theta} = - 2 = 2 e^{i\pi} \implies |z|^5 = 2 \implies |z| = 2^{1/5}, 4\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = \pi/4 + k\pi/2 \qquad k = 0, 1, 2, 3. $
Grazie mille, ho capito!
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