Esercizio con modulo alla quarta, numeri complessi
Vorrei solo che mi aiutaste con questo esercizio sui numeri complessi. Scusate se non posto un tentativo, ma non ho proprio idea di come impostarlo.
$ |z-2i|^4=1 $
$ |z-2i|^4=1 $
Risposte
Up
Poni $|z-2i|=w$
$ w^4=1 $
$ w_1=1 $
$ w_2=i $
$ w_3=-1 $
$ w_4=-i $
Ma $ |z-2i|=1 $ come si risolve?
Se calcolo il modulo del primo termine e lo pongo uguale ad 1 ottengo un'equazione a due incognite.
$ w_1=1 $
$ w_2=i $
$ w_3=-1 $
$ w_4=-i $
Ma $ |z-2i|=1 $ come si risolve?
Se calcolo il modulo del primo termine e lo pongo uguale ad 1 ottengo un'equazione a due incognite.
$w$ è un modulo quindi un numero reale non un complesso, non mi pare che $1$ abbia radici immaginarie …
In aggiunta alla correttissima osservazione di Alex,
Scrivi, per favore, l'equazione di una circonferenza nel piano complesso. Grazie.
"maxira":
Ma $ |z-2i|=1 $ come si risolve?
Scrivi, per favore, l'equazione di una circonferenza nel piano complesso. Grazie.
Giusto, quindi non devo considerare i risultati immaginari che ho ottenuto, ma solo -+1.
Il risultato è x^2+(y-2)^2=1, il che significa tutti i valori di x ed y che soddisfano l'equazione, e cioè x=+-1 ed y=2. Il centro della circonferenza è (0, 2).
Ho sbagliato qualcosa?
E c'è un modo per ricavarsi i valori di x ed y in un modo diverso, partendo sempre da equazioni simili? Chiedo solo in caso io possa trovare degli esercizi in cui i valori di x ed y non sono così intuibili.
Il risultato è x^2+(y-2)^2=1, il che significa tutti i valori di x ed y che soddisfano l'equazione, e cioè x=+-1 ed y=2. Il centro della circonferenza è (0, 2).
Ho sbagliato qualcosa?
E c'è un modo per ricavarsi i valori di x ed y in un modo diverso, partendo sempre da equazioni simili? Chiedo solo in caso io possa trovare degli esercizi in cui i valori di x ed y non sono così intuibili.
"maxira":
Giusto, quindi non devo considerare i risultati immaginari che ho ottenuto, ma solo $-+1$.
Ma $-1$ anche no… Perché?
Ad ogni buon conto, l’equazione $|z - 2 mathbf(i)|^4 = 1$ è risolta dai numeri $z$ tali che $|z - 2 mathbf(i)| = 1$, dunque tali che $z - 2mathbf(i) = mathbf(e)^(mathbf(i) theta)$ con $theta in [0,2pi]$ ossia $ z = 2 mathbf(i) + mathbf(e)^(mathbf(i) theta)$ (punti della circonferenza di centro $2 mathbf(i)$ e raggio $1$).
"gugo82":
Ma $−1$ anche no… Perché?
Scusa gugo82, magari sono suonato io, ma perché no? Tutti i punti sulla circonferenza scritta da maxira
"maxira":
$x^2+(y-2)^2=1 $
sono soluzioni dell'equazione proposta, in particolare le coppie "semplici" $(1,2) $, $(0,3) $, $(-1,2) $ e $(0,1) $
Si riferiva all'equazione \(|z-2i|=-1\).
Ciao dissonance,
Sì hai ragione, ho interpretato male io: si riferiva a $w $, non a $x$...
Chiedo venia.
Sì hai ragione, ho interpretato male io: si riferiva a $w $, non a $x$...
Chiedo venia.
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