Esercizio con integrale triplo NULLO.
Ciao a tutti. Sono nuovo nel forum e per questo mi presento. Sono Valerio e sto al secondo anno di Ingegneria Meccanica. 
Ho sempre trovato utile questo sito e quindi ora ho deciso di iscrivermi.
Ho un problema con questa traccia:
$f(x,y,z)=xz$ esteso al solido D che ha per frontiera la porzione di paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$ con $0$$<=$$z$$<=$$4$ e il cerchio del piano $z=4$ di centro $(0,0,4)$ e di raggio $2$.
Ora passando in coordinate cilindriche ho che : $0$$<=$$\rho$$<=$$2$ , $0$$<=$$\vartheta$$<=$$2\pi$ , $0$$<=$$z$$<=$$4$. Integrando ho :
$\int_0^2$ $d$$\rho$ $\int_0^{2\pi}$$d\vartheta$ $\int_0^4$ $z$ $\rho^2$$cos$ $\vartheta$ $d$$z$ .
Andando a svolgere l'integrale mi trovo un risultato nullo ( integrale tra 0 e 2pigrego di un seno ). E' possibile o c'è qualche errore? Aspetto una vostra risposta e Vi ringrazio anticipatamente.
Ho sempre trovato utile questo sito e quindi ora ho deciso di iscrivermi.
Ho un problema con questa traccia:
$f(x,y,z)=xz$ esteso al solido D che ha per frontiera la porzione di paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$ con $0$$<=$$z$$<=$$4$ e il cerchio del piano $z=4$ di centro $(0,0,4)$ e di raggio $2$.
Ora passando in coordinate cilindriche ho che : $0$$<=$$\rho$$<=$$2$ , $0$$<=$$\vartheta$$<=$$2\pi$ , $0$$<=$$z$$<=$$4$. Integrando ho :
$\int_0^2$ $d$$\rho$ $\int_0^{2\pi}$$d\vartheta$ $\int_0^4$ $z$ $\rho^2$$cos$ $\vartheta$ $d$$z$ .
Andando a svolgere l'integrale mi trovo un risultato nullo ( integrale tra 0 e 2pigrego di un seno ). E' possibile o c'è qualche errore? Aspetto una vostra risposta e Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Il dominio è simmetrico rispetto alla simmetria \(S(x,y,z) = (-x,y,z)\), mentre la funzione \(f\) è dispari rispetto alla medesima simmetria. Dal momento che l'integrale esiste, esso deve essere nullo.
"Rigel":
Il dominio è simmetrico rispetto alla simmetria \(S(x,y,z) = (-x,y,z)\), mentre la funzione \(f\) è dispari rispetto alla medesima simmetria. Dal momento che l'integrale esiste, esso deve essere nullo.
Che dire... Grazie!!!
Quello che ti ha detto Rigel è corretto, ma mi lascia perplesso quando dici che:
A me questo pare più un cilindro che un paraboloide. Prova a rincontrollare il cambio di coordinate.
"axoone":
Ora passando in coordinate cilindriche ho che : $0$$<=$$\rho$$<=$$2$ , $0$$<=$$\vartheta$$<=$$2\pi$ , $0$$<=$$z$$<=$$4$
A me questo pare più un cilindro che un paraboloide. Prova a rincontrollare il cambio di coordinate.
Ora che me lo fai notare effettivamente sembra più un cilindro. Tu come lo faresti?
Innanzi tutti scriviamo per bene chi è $D$:
\[D = \{(x,y,z): (x,y) \in \mathbb{R}^2, 0 \leq z \leq 4, z \leq x^2+y^2\}\]
Passando in coordinate cilindriche hai che $|J|=\rho$, $0 \leq z \leq 4$ e $0 \leq \theta leq 2\pi$. Manca la condizione su $\rho$.
Da $z \leq x^2+y^2$ hai che
\[
z \leq \rho^2,
\]
da cui $\sqrt{z} \leq \rho$.
Inoltre sai che il massimo valore che può assumere $\rho$ è $2$. Quindi
\[
\sqrt{z} \leq \rho \leq 2
\]
\[D = \{(x,y,z): (x,y) \in \mathbb{R}^2, 0 \leq z \leq 4, z \leq x^2+y^2\}\]
Passando in coordinate cilindriche hai che $|J|=\rho$, $0 \leq z \leq 4$ e $0 \leq \theta leq 2\pi$. Manca la condizione su $\rho$.
Da $z \leq x^2+y^2$ hai che
\[
z \leq \rho^2,
\]
da cui $\sqrt{z} \leq \rho$.
Inoltre sai che il massimo valore che può assumere $\rho$ è $2$. Quindi
\[
\sqrt{z} \leq \rho \leq 2
\]
"Lory314":
Innanzi tutti scriviamo per bene chi è $D$:
\[D = \{(x,y,z): (x,y) \in \mathbb{R}^2, 0 \leq z \leq 4, z \leq x^2+y^2\}\]
Passando in coordinate cilindriche hai che $|J|=\rho$, $0 \leq z \leq 4$ e $0 \leq \theta leq 2\pi$. Manca la condizione su $\rho$.
Da $z \leq x^2+y^2$ hai che
\[
z \leq \rho^2,
\]
da cui $\sqrt{z} \leq \rho$.
Inoltre sai che il massimo valore che può assumere $\rho$ è $2$. Quindi
\[
\sqrt{z} \leq \rho \leq 2
\]
Voglio provare a farne un altro per vedere se ho capito.
Insieme limitato dalla porzione di paraboloide di equazione $z=1-(x^2+y^2)$ compreso tra i piani di equazione $z=1/4$ e $z=1$.
Allora $\vartheta$ e $z$ sono immediati : $0$$\leq$$\vartheta$$\leq$$2$$\pi$ e $1$$\leq$$z$$\leq$$1/4$ .
Tralasciando i passaggi: $0$$\leq$$\rho$$\leq$$(1-z)^(1/2)$.
Ho fatto bene?
Ma poi quando vado ad integrare svolgo prima l'integrale di $d\rho$ e poi quello di $dz$ dal momento che uno degli estremi di integrazione dell'integrale di $d\rho$ risulta avere una $z$ in gioco???
Ti ringrazio anticipatamente!
"axoone":
Tralasciando i passaggi: $0$$\leq$$\rho$$\leq$$(1-z)^(1/2)$.
Ho fatto bene?
Non ho controllato i conti ma mi sembra giusto.
"axoone":
Ma poi quando vado ad integrare svolgo prima l'integrale di $d\rho$ e poi quello di $dz$ dal momento che uno degli estremi di integrazione dell'integrale di $d\rho$ risulta avere una $z$ in gioco???
Sì!
eccellente!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo