Esercizio con integrale triplo...
Questo è l'esercizio in questione:
$ int int int_(D)sqrt(9-x^2-y^2-z^2) dx dy dz $
$ D-= { (x^2+y^2+z^2<=9),(x^2+z^2<=4):} $
Qualche suggerimento per la risoluzione? Avrei pensato alle coordinate sferiche..ma ho problemi sia nel ricavare gli estremi di integrazione che nel risolvere l'integrale...
Proviamo:
$ { ( x=rhosin(theta)cos(phi) ),( y=rhosin(theta)sin(phi) ),( z= rhocos(theta)):} $
Sostituendo nelle disequazioni del dominio ottengo per la prima $ rho<=3 $ ma poi cominciano i problemi...nella seconda otterrei...
$ rho^2sin^2(theta)cos^2(phi)+rho^2cos^2(theta)<=4 $
da qui non so procedere...come trovo $ rho $ , $ theta $ e $ phi $ ?
$ int int int_(D)sqrt(9-x^2-y^2-z^2) dx dy dz $
$ D-= { (x^2+y^2+z^2<=9),(x^2+z^2<=4):} $
Qualche suggerimento per la risoluzione? Avrei pensato alle coordinate sferiche..ma ho problemi sia nel ricavare gli estremi di integrazione che nel risolvere l'integrale...
Proviamo:
$ { ( x=rhosin(theta)cos(phi) ),( y=rhosin(theta)sin(phi) ),( z= rhocos(theta)):} $
Sostituendo nelle disequazioni del dominio ottengo per la prima $ rho<=3 $ ma poi cominciano i problemi...nella seconda otterrei...
$ rho^2sin^2(theta)cos^2(phi)+rho^2cos^2(theta)<=4 $
da qui non so procedere...come trovo $ rho $ , $ theta $ e $ phi $ ?
Risposte
Intanto, prova a disegnare il dominio, potrebbe aiutarti nella determinazione degli estremi di integrazione. In questo caso hai l'intersezione di una sfera e un cilindro.
Le coordinate sferiche sono una buona idea, ma ti conviene esprimerle così:
[tex]$(\rho, \theta, \phi) \mapsto (x,y,z)=(\rho \sin \theta \cos \phi, \rho \cos \theta, \rho \sin \theta \sin \phi)$[/tex], dove [tex]$\theta$[/tex] è l'angolo fra il generico vettore di coordinate [tex]$(x,y,z)$[/tex] e l'asse [tex]$y$[/tex], mentre [tex]$\phi$[/tex] è l'angolo fra l'asse [tex]$z$[/tex] e la proiezione del vettore sul piano [tex]$xz$[/tex].
In questo modo ottieni, per la seconda disuguaglianza: [tex]$\rho^2 \sin^2 \theta \leq 4 \Leftrightarrow |\sin \theta | \leq \frac{2}{\rho}$[/tex].
Sull'altro angolo non hai limitazioni, quindi hai (e si nota anche dal disegno) [tex]$0 \leq \phi \leq 2 \pi$[/tex].
Il modulo del determinante Jacobiano ovviamente resta invariato.
In questo modo l'integrale è praticamente già doppio.
In alternativa potresti tentare con le coordinate cilindriche, usando come base il piano $xz$ e $y$ come quota.
Le coordinate sferiche sono una buona idea, ma ti conviene esprimerle così:
[tex]$(\rho, \theta, \phi) \mapsto (x,y,z)=(\rho \sin \theta \cos \phi, \rho \cos \theta, \rho \sin \theta \sin \phi)$[/tex], dove [tex]$\theta$[/tex] è l'angolo fra il generico vettore di coordinate [tex]$(x,y,z)$[/tex] e l'asse [tex]$y$[/tex], mentre [tex]$\phi$[/tex] è l'angolo fra l'asse [tex]$z$[/tex] e la proiezione del vettore sul piano [tex]$xz$[/tex].
In questo modo ottieni, per la seconda disuguaglianza: [tex]$\rho^2 \sin^2 \theta \leq 4 \Leftrightarrow |\sin \theta | \leq \frac{2}{\rho}$[/tex].
Sull'altro angolo non hai limitazioni, quindi hai (e si nota anche dal disegno) [tex]$0 \leq \phi \leq 2 \pi$[/tex].
Il modulo del determinante Jacobiano ovviamente resta invariato.
In questo modo l'integrale è praticamente già doppio.
In alternativa potresti tentare con le coordinate cilindriche, usando come base il piano $xz$ e $y$ come quota.
Ok così sembra molto più semplice, ma ho comunque difficoltà con gli estremi...
Avrei queste 2 disequazioni:
$ { ( rho<=3 ),( rho^2sin^2(theta)<=4 ):} $
giusto? A questo punto dalla seconda:
$ theta<=arcsin(2/rho) $
Quindi? Quale sarebbe l'estremo inferiore per $theta$...e per quanto riguarda $ rho $ ?
Avrei queste 2 disequazioni:
$ { ( rho<=3 ),( rho^2sin^2(theta)<=4 ):} $
giusto? A questo punto dalla seconda:
$ theta<=arcsin(2/rho) $
Quindi? Quale sarebbe l'estremo inferiore per $theta$...e per quanto riguarda $ rho $ ?
Ricorda che $\rho >0$.
In ogni caso hai che $-2/\rho < \sin \theta < 2/\rho$.
Ora, bisogna fare attenzione a invertire perché l'arcoseno è definito in $[-\pi/2, \pi/2]$. Risolvendo graficamente la disequazione, mi viene $\theta \in [0, \arcsin (2/\rho)] \cup [\pi -\arcsin (2/\rho), \pi]$ se $p \in (2,3]$, mentre $\theta \in [0,\pi]$ se $p \in (0,2]$. Quindi potresti, sfruttare l'additività e spezzare l'integrale.
In ogni caso hai che $-2/\rho < \sin \theta < 2/\rho$.
Ora, bisogna fare attenzione a invertire perché l'arcoseno è definito in $[-\pi/2, \pi/2]$. Risolvendo graficamente la disequazione, mi viene $\theta \in [0, \arcsin (2/\rho)] \cup [\pi -\arcsin (2/\rho), \pi]$ se $p \in (2,3]$, mentre $\theta \in [0,\pi]$ se $p \in (0,2]$. Quindi potresti, sfruttare l'additività e spezzare l'integrale.
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