Esercizio con integrale doppio : cambio di variabili

[marthy_92]

Salve a tutti ! ho dei dubbi con questo esercizio.

Si calcoli l'integrale doppio

\( \iint_{D}^{}\, (x^2 + y^2)e^((x^2+y^2)^2)dx\, dy \)

con \( D= ( (x,y) \in R2: x^2 + y^2 \leq 4 ; y \leq - |x| ) \)

Sono passata a coordinate polari con la trasformazione

\( \begin{cases} x=\rho cos\vartheta \\ y=\rho sin\vartheta \end{cases} \)

Ora per determinare il nuovo dominio di integrazione devo risolvere le disuguaglianze

\( \begin{cases} \rho^2 (cos\vartheta)^2 +\rho^2 (sin\vartheta)^2\leq 4 \\ \rho sin\vartheta \leq- | \rho cos\vartheta| \end{cases} \)

\( \begin{cases} \rho \leq 2 \\ sin\vartheta \leq- | cos\vartheta| \end{cases} \)

ove ho semplificato \( \rho \) perchè può essere considerato sempre >0 .
Ma dall'ultima diseguaglianza non riesco a continuare per trovare le soluzioni. Come faccio ?

[marthy_92]

Grazie 1000 Tem Si in effetti hai ragione, avrei potuto evitare la disequazione e disegnare il dominio
Una cosa.. riguardo alla disequazione

\( sin \vartheta \leq cos\vartheta \)

Come la risolvi? Nel senso.. io avevo provato a supporre \( cos\vartheta \) diverso da zero
e dividendo per \( cos\vartheta \) ottenevo \( \tan \vartheta \) < 1. Ma ho notato che così le
soluzioni sono diverse dalla disequazione di partenza. Che metodo hai usato? Perchè

\( \tan \vartheta \leq 1 \) si ha quando \( \pi/2 \leq \vartheta \leq 5\pi/4 ; 3\pi/2 \leq \vartheta\leq \pi/4 \)

La domanda può sembrarti molto banale, ma purtroppo la trigonometria non
è programma della scuola che ho frequentato e quindi mi sono ritrovata a dover
recuperare tutto da sola in poco tempo....

[marthy_92]

si, adesso ho capito Grazie ancora per l'aiuto