Esercizio con integrale doppio
Ciao a tutti! Vorrei proporvi un esercizio di sugli integrali doppi, su cui mi trovo in difficoltà... Ecco il testo dell'esercizio:
Si consideri la curva nel piano, definita in coordinate polari mediante la relazione
\( \displaystyle \gamma:= \{ (\rho,\theta) : \theta\in [0, \vartheta] , \rho = 2 sin^2(2\theta) \} \)
1. si determini il più piccolo valore di \( \displaystyle \vartheta > 0 \) tale che la curva risulti chiusa;
2. si calcoli l’area racchiusa dalla curva usando un integrale doppio;
3. si verifichi il risultato ottenuto al punto (2) calcolando l’area racchiusa dalla curva usando le formule di Gauss-Green.
Per il primo punto, sono riuscita a ricavare un valore di \( \displaystyle \vartheta =\pi/2\), anche se non sono pienamente convinta di aver fatto bene perché ho un sistema in cui ignoro la condizione \( \displaystyle \vartheta = 0\)...
Invece essendo la curva espressa in coordinate polari, che non ho mai trovato in altri esercizi, non ho proprio idea di come impostare l'integrale nel punto 2! Qualcuno gentilmente potrebbe darmi una mano?
Grazie anticipatamente
Si consideri la curva nel piano, definita in coordinate polari mediante la relazione
\( \displaystyle \gamma:= \{ (\rho,\theta) : \theta\in [0, \vartheta] , \rho = 2 sin^2(2\theta) \} \)
1. si determini il più piccolo valore di \( \displaystyle \vartheta > 0 \) tale che la curva risulti chiusa;
2. si calcoli l’area racchiusa dalla curva usando un integrale doppio;
3. si verifichi il risultato ottenuto al punto (2) calcolando l’area racchiusa dalla curva usando le formule di Gauss-Green.
Per il primo punto, sono riuscita a ricavare un valore di \( \displaystyle \vartheta =\pi/2\), anche se non sono pienamente convinta di aver fatto bene perché ho un sistema in cui ignoro la condizione \( \displaystyle \vartheta = 0\)...
Invece essendo la curva espressa in coordinate polari, che non ho mai trovato in altri esercizi, non ho proprio idea di come impostare l'integrale nel punto 2! Qualcuno gentilmente potrebbe darmi una mano?
Grazie anticipatamente
Risposte
Ciao
premetto che non sono bravissimo nemmeno io con questo genere di cose ma credo di poterti eventualmente dare una mano.
Per sicurezza magari aspetta che qualcun'altro confermi il mio ragionamento
Ti viene richiesto di calcolare l'area della superficie della curva usando l'integrale doppio.
Quando si calcola un area occorre calcolare l'integrale della grandezza $1$ tra i giusti estremi di integrazione
tu stai ragionando in coordinate polari quindi avrai una modulo e un angolo (ovvero $rho$ e $theta$)
la grandezza $rho$ é una distanza dell'origine del sistema di riferimento pertanto non puó essere negativa
pertanto la grandezza $rho$ sará $0 \leq rho \leq 2sin^(2)(2theta)$
mentre sai giá che $0 \leq theta \leq upsilon $ perché te lo indica il testo
quindi l'area che tu cerci sará
[tex]A = \int_{0}^{\upsilon } \int_{0}^{2sin^{2}(2\theta)} 1 d\rho d\theta[/tex]
prendiamo per ora solo l'integrale piú interno calcolandolo rispetto a $rho$. Questo significa che consideriamo $rho$ come una variabile e tutto il resto come se fossero costanti. Otteniamo quindi
[tex]A = \int_{0}^{2sin^{2}(2\theta)} 1 d\rho = \left(\rho\right)_{0}^{ 2sin^{2}(2\theta)} = 2sin^{2}(2\theta)[/tex]
quindi l'integrale iniziale diventa
[tex]A = \int_{0}^{\upsilon } \int_{0}^{2sin^{2}(2\theta)} 1 d\rho d\theta = \int_{0}^{\upsilon } 2sin^{2}(2\theta) d\theta[/tex]
che immagino tu sappia calcolare... spero di esserti stato d'aiuto (anche di non aver detto stupidaggini).
premetto che non sono bravissimo nemmeno io con questo genere di cose ma credo di poterti eventualmente dare una mano.
Per sicurezza magari aspetta che qualcun'altro confermi il mio ragionamento
Ti viene richiesto di calcolare l'area della superficie della curva usando l'integrale doppio.
Quando si calcola un area occorre calcolare l'integrale della grandezza $1$ tra i giusti estremi di integrazione
tu stai ragionando in coordinate polari quindi avrai una modulo e un angolo (ovvero $rho$ e $theta$)
la grandezza $rho$ é una distanza dell'origine del sistema di riferimento pertanto non puó essere negativa
pertanto la grandezza $rho$ sará $0 \leq rho \leq 2sin^(2)(2theta)$
mentre sai giá che $0 \leq theta \leq upsilon $ perché te lo indica il testo
quindi l'area che tu cerci sará
[tex]A = \int_{0}^{\upsilon } \int_{0}^{2sin^{2}(2\theta)} 1 d\rho d\theta[/tex]
prendiamo per ora solo l'integrale piú interno calcolandolo rispetto a $rho$. Questo significa che consideriamo $rho$ come una variabile e tutto il resto come se fossero costanti. Otteniamo quindi
[tex]A = \int_{0}^{2sin^{2}(2\theta)} 1 d\rho = \left(\rho\right)_{0}^{ 2sin^{2}(2\theta)} = 2sin^{2}(2\theta)[/tex]
quindi l'integrale iniziale diventa
[tex]A = \int_{0}^{\upsilon } \int_{0}^{2sin^{2}(2\theta)} 1 d\rho d\theta = \int_{0}^{\upsilon } 2sin^{2}(2\theta) d\theta[/tex]
che immagino tu sappia calcolare... spero di esserti stato d'aiuto (anche di non aver detto stupidaggini).
Ti ringrazio, sei stato gentilissimo, non avevo proprio fatto caso al fatto che \(\rho\) dovesse essere una quantità positiva, e mi era anche sfuggita la formula per il calcolo dell'area, ma il tuo ragionamento dovrebbe essere corretto! Ma se volessi passare alle variabili cartesiane quali formule dovrei applicare? E converrebbe?
Per il passaggio alle coordinate cartesiane partendo dalle polari devi usare
[tex]\begin{cases} x = \rho \cos(\theta) \\ y=\rho \sin(\theta) \end{cases}[/tex]
Se le volessi usare dovresti quindi ricavarti gli estremi della figura in forma cartesiana e poi integrare rispetto a $x$ e $y$
in questo caso penso sarebbe una complicazione invece che una semplificazione
[tex]\begin{cases} x = \rho \cos(\theta) \\ y=\rho \sin(\theta) \end{cases}[/tex]
Se le volessi usare dovresti quindi ricavarti gli estremi della figura in forma cartesiana e poi integrare rispetto a $x$ e $y$
in questo caso penso sarebbe una complicazione invece che una semplificazione
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