Esercizio con induzione
Sia $ (H_n)_(n>=1) $ la successione tale che $ H_n=sum_(k = 1)^n(1/k) $ per $ n>=1 $ .
1- Dimostrare che per ogni $ n>=0 $ , $ H_(2^n)>=1+n/2 $
2- Calcolare $ lim_(n -> ∞) H_n $
Allora io l'ho svolto cercando di usare (per il punto 1) il principio d'induzione. Guardando poi le soluzioni, ha usato lo stesso procedimento, ma non capisco bene un passaggio. Per dimostrarlo in n+1 dice che:
$ H_(2^(n+1))= H_(2^n)+1/(2^(n+1))+........+1/(2^(n+1))>=1+n/2+2^n/2^(n+1)=1+(n+1)/2 $
ecco, non capisco qui i passaggi che ha fatto, qualcuno può spiegarmeli?
1- Dimostrare che per ogni $ n>=0 $ , $ H_(2^n)>=1+n/2 $
2- Calcolare $ lim_(n -> ∞) H_n $
Allora io l'ho svolto cercando di usare (per il punto 1) il principio d'induzione. Guardando poi le soluzioni, ha usato lo stesso procedimento, ma non capisco bene un passaggio. Per dimostrarlo in n+1 dice che:
$ H_(2^(n+1))= H_(2^n)+1/(2^(n+1))+........+1/(2^(n+1))>=1+n/2+2^n/2^(n+1)=1+(n+1)/2 $
ecco, non capisco qui i passaggi che ha fatto, qualcuno può spiegarmeli?
Risposte
Forse è un tuo refuso nella digitazione, ma guarda che l'uguaglianza giusta è
$H_(2^(n+1))=H_(2^n)+1/(2^n+1)+1/(2^n+2)+..+1/(2^n+2^n-1)+1/(2^n+2^n)=H_(2^n)+1/(2^n+1)+..+1/(2^(n+1))$ $AA n in NN$:
a quel punto ti basta maggiorare opportunamente tutti gli addendi a destra del primo segno di somma
(sono complessivamente $2^n$..),ed hai finito.
Saluti dal web.
$H_(2^(n+1))=H_(2^n)+1/(2^n+1)+1/(2^n+2)+..+1/(2^n+2^n-1)+1/(2^n+2^n)=H_(2^n)+1/(2^n+1)+..+1/(2^(n+1))$ $AA n in NN$:
a quel punto ti basta maggiorare opportunamente tutti gli addendi a destra del primo segno di somma
(sono complessivamente $2^n$..),ed hai finito.
Saluti dal web.
Aaaaaaah ecco, grazie mille 
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