Esercizio con identità di Parseval
La funzione, periodica di periodo \(\displaystyle 2\pi \), definita in \(\displaystyle (-\pi,pi] \) da \(\displaystyle f(x)=|x| \), ha il seguente sviluppo
in serie di Fourier: \(\displaystyle |x| = \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}(cos(x)+\frac{1}{3^2}cos(3x)+\frac{1}{5^2}cos5x+...) \), scrivere l'identità di Parseval (motivandone la validità) e dedurne che \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} \)
Ho iniziato dicendo che la funzione è di periodo \(\displaystyle 2\pi \) e continua in tutto R, quindi di quadrato sommabile in \(\displaystyle (-\pi,\pi] (\int_{-\pi}^\pi (f(x))^2=\frac{2\pi^3}{3} < +\infty)\), l'identità di Parseval è così definita:
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}|f(x)|^2dx = \frac{\pi a_{0}^2}{2}+\pi\sum_{n=1}^\infty(a_{k}^2+b_{k}^2)\), quello che non mi è chiaro è perchè nella soluzione c'è scritto che \(\displaystyle a_0 = \pi \), quando a me risulta che \(\displaystyle a_0=\frac{\pi}{2} \)
in serie di Fourier: \(\displaystyle |x| = \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}(cos(x)+\frac{1}{3^2}cos(3x)+\frac{1}{5^2}cos5x+...) \), scrivere l'identità di Parseval (motivandone la validità) e dedurne che \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} \)
Ho iniziato dicendo che la funzione è di periodo \(\displaystyle 2\pi \) e continua in tutto R, quindi di quadrato sommabile in \(\displaystyle (-\pi,\pi] (\int_{-\pi}^\pi (f(x))^2=\frac{2\pi^3}{3} < +\infty)\), l'identità di Parseval è così definita:
\(\displaystyle \int_0^{2\pi}|f(x)|^2dx = \frac{\pi a_{0}^2}{2}+\pi\sum_{n=1}^\infty(a_{k}^2+b_{k}^2)\), quello che non mi è chiaro è perchè nella soluzione c'è scritto che \(\displaystyle a_0 = \pi \), quando a me risulta che \(\displaystyle a_0=\frac{\pi}{2} \)
Risposte
Il primo termine dello sviluppo in serie di Fourier in \([-\pi,\pi]\) di solito si scrive \(a_0/2\); quindi nel tuo caso avresti \(a_0/2=\pi/2\), i.e. \(a_0=\pi\).
ok, grazie.
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