Esercizio con i numeri complessi

[marina091]

in una traccia d'esame di analisi sta questo esercizio:

Dato il polinomio $p(z) = z^5 + 3z^3 - 1$ e dette $z_1; z_2; z_3; z_4; z_5$ le soluzioni omplesse

di $(z) = 0 $ calcolare $Im(z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5)$ e $Re(i(z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5))$ . qualcuno ha idea di come svolgerlo?

[@melia]

"marina09":in una traccia d'esame di analisi sta questo esercizio:
Dato il polinomio $p(z) = z^5 + 3z^3 - 1$ e dette $z_1; z_2; z_3; z_4; z_5$ le soluzioni omplesse
di $(z) = 0 $ calcolare $Im(z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5)$ e $Re(i(z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5))$ . qualcuno ha idea di come svolgerlo?

Si tratta di un polinomio di 5° grado a coefficienti reali, quindi per il Teorema fondametale dell'algebra il polinomio ha o solo soluzioni reali oppure per ogni soluzione complessa deve avere come soluzione anche la sua coniugata. Nel caso specifico ha una sola soluzione reale e due coppie di soluzioni complesse coniugate, per cui $Im(z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5)=0$, $Re(i(z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5))=-Im(z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5)=0$

[marina091]

se ha una soluzione reale e due coppie di soluzioni complesse e coniugate, la somma delle immagini non dovrebbe darmi una tra le soluzioni?
Perchè le quattro coniugate si annullano e rimane quella reale,giusto?

[@melia]

"marina09":?la somma delle immagini ?

Somma delle parti immaginarie, facendo la somma tra due complessi coniugati la somma delle parti immaginarie è nulla. Se ho un numero reale e due coppie di complessi coniugati la somma delle parti immaginarie è nulla.