Esercizio con i numeri complessi
Salve, vi pongo un quesito che non sono riuscito a risolvere. Esso recita: Ogni numero complesso $z=x+iy$ che sia radice quarta di $(1+sqrt(3)i)^3$ verifica.. e la risposta esatta è $(y-x)(y+x)$ . Ho provato ad usare la formula di De Moivre ma sono andato completamente fuori strada. Mi potete aiutare ?
Risposte
Ciao davide.fede,
Osservando che $ (1 + i sqrt{3})^3 = - 8 $, si ha:
$ (x + iy)^4 = - 8 $
$ x^4 - 6x^2 y^2 + y^4 + 4ixy(x^2 - y^2) = - 8 $
e quindi necessariamente $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 0 $
Osservando che $ (1 + i sqrt{3})^3 = - 8 $, si ha:
$ (x + iy)^4 = - 8 $
$ x^4 - 6x^2 y^2 + y^4 + 4ixy(x^2 - y^2) = - 8 $
e quindi necessariamente $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 0 $
"pilloeffe":
Ciao davide.fede,
Osservando che $ (1 + i sqrt{3})^3 = - 8 $, si ha:
$ (x + iy)^4 = - 8 $
$ x^4 - 6x^2 y^2 + y^4 + 4ixy(x^2 - y^2) = - 8 $
e quindi necessariamente $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 0 $
Scusami ma non ho capito il penultimo passaggio per arrivare alla conclusione
E comunque deve uscire $(y-x)(x+y)$ non $(x-y)(x+y)$
"davide.fede":
[quote="pilloeffe"]
$ x^4 - 6x^2 y^2 + y^4 + 4ixy(x^2 - y^2) = - 8 $
e quindi necessariamente $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 0 $
Scusami ma non ho capito il penultimo passaggio per arrivare alla conclusione[/quote]
dall'altra parte dell'uguale hai un numero reale $-8$
di conseguenza la parte immaginaria $4ixy(x^2-y^2)$ deve essere uguale a $0$
"gio73":
[quote="davide.fede"][quote="pilloeffe"]
$ x^4 - 6x^2 y^2 + y^4 + 4ixy(x^2 - y^2) = - 8 $
e quindi necessariamente $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 0 $
Scusami ma non ho capito il penultimo passaggio per arrivare alla conclusione[/quote]
dall'altra parte dell'uguale hai un numero reale $-8$
di conseguenza la parte immaginaria $4ixy(x^2-y^2)$ deve essere uguale a $0$[/quote]
Si ma deve uscire $(y-x)(x+y)$ non $(x-y)(x+y)$
Beh, si ha:
$ (x - y)(x + y) = 0 \implies - (y - x)(y + x) = 0 \implies (y - x)(y + x) = 0 $
Ti segnalo sommessamente poi che per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI che compare in fondo al thread, non il pulsante CITA, che se non usato a proposito non fa altro che appesantire inutilmente il thread.
$ (x - y)(x + y) = 0 \implies - (y - x)(y + x) = 0 \implies (y - x)(y + x) = 0 $
Ti segnalo sommessamente poi che per rispondere ai post si usa il pulsante RISPONDI che compare in fondo al thread, non il pulsante CITA, che se non usato a proposito non fa altro che appesantire inutilmente il thread.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo