Esercizio con Gauss-Green
Ciao!
Non riesco a trovare capire come parametrizzare il seguente insieme per poi individuare la soluzione utilizzando le formule di Gauus-Green tra quelle proposte:
Diversamente da esercizi con insiemi che hanno una certa simmetria assiale qui non riesco a capire come fare. Chiaro l'aperto in $\mathbb{R^2}$ e la funzione che verifica che che $\Omega$ sia una superficie regolare con bordo semplice e aperta è suggerito nelle varie voci, ma non capendo esattamente cosa venga associato ad u e v nei due casi e perchè il dominio di integrazione sia quello non so quale scegliere.
Non riesco a trovare capire come parametrizzare il seguente insieme per poi individuare la soluzione utilizzando le formule di Gauus-Green tra quelle proposte:
Diversamente da esercizi con insiemi che hanno una certa simmetria assiale qui non riesco a capire come fare. Chiaro l'aperto in $\mathbb{R^2}$ e la funzione che verifica che che $\Omega$ sia una superficie regolare con bordo semplice e aperta è suggerito nelle varie voci, ma non capendo esattamente cosa venga associato ad u e v nei due casi e perchè il dominio di integrazione sia quello non so quale scegliere.
Risposte
Esercizi del genere mi sono poco familiari, comunque ragionandoci un po' sopra si vede che i due integrali (quelli scritti nella soluzione) rappresentano due facce del tetraedro che rappresenta il dominio.
Il dominio in parole semplici sarebbe un angolo "tagliato via" da un parallelepipedo.
Il fatto rilevante è che, con le parametrizzazioni suggerite, nel primo integrale il vettore $u \times v$ punta all'esterno del dominio, mentre nel secondo integrale è rivolto all'interno.
Mi viene da dire che la soluzione giusta sia quindi la b) perchè i vettori sono già orientati nel verso giusto.
Del resto il teorema di G-G è una estensione del teorema fondamentale dell'integrazione:
$\int_a^b f(\bb x) = F(b)-F(a)$.
Qui $F(b)$ sarebbe il primo integrale delle soluzioni e $F(b)$ il secondo. E siccome il secondo integrale già si presenta con la normale orientata all'interno, non ha bisogno del segno negativo.
Se non hai capito questi miei suggerimenti, per altro poco rigorosi, non è un problema tuo sia chiaro, come ti dicevo non sono ferrato in questi esercizi.
Il dominio in parole semplici sarebbe un angolo "tagliato via" da un parallelepipedo.
Il fatto rilevante è che, con le parametrizzazioni suggerite, nel primo integrale il vettore $u \times v$ punta all'esterno del dominio, mentre nel secondo integrale è rivolto all'interno.
Mi viene da dire che la soluzione giusta sia quindi la b) perchè i vettori sono già orientati nel verso giusto.
Del resto il teorema di G-G è una estensione del teorema fondamentale dell'integrazione:
$\int_a^b f(\bb x) = F(b)-F(a)$.
Qui $F(b)$ sarebbe il primo integrale delle soluzioni e $F(b)$ il secondo. E siccome il secondo integrale già si presenta con la normale orientata all'interno, non ha bisogno del segno negativo.
Se non hai capito questi miei suggerimenti, per altro poco rigorosi, non è un problema tuo sia chiaro, come ti dicevo non sono ferrato in questi esercizi.
Anche a me viene da rispondere con la b., perchè se calcolo il determinante degli argomenti della funzione contenuta all'interno della funzione vengono quei valori che effettivamente sono moltiplicati all'integrale. Poi siccome devono essere diretti verso l'esterno della superficie si prendono con segno positivo. Però io volevo capire principalmente come fare a "pensare" una parametrizzazione del genere se per esempio non avessi nessuna soluzione tra cui scegliere e dovessi scriverne una mia di mio pungo.
Come devo fare per pensare ad una parametrizzazione del genere di testa mia, cioè senza aver a disposizione le soluzioni tra cui scegliere?
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