Esercizio con funzioni a più variabili

[tabpozz]

Salve, mi date una mano con questo esercizio?

Sia $F(x,y)=varphi(x)e^(2y+5)$. Determinare $varphi(x)$ in modo che $(delf)/(delx)(x,y)=(delf)/(dely)(x,y)$.

Trovo $(delf)/(delx)(x,y)=varphi^(')(x)e^(2y+5)$ e $(delf)/(dely)(x,y)=varphi(x)e^2$.

Ma poi come vado avanti?

[cozzataddeo]

"tabpozz":Salve, mi date una mano con questo esercizio?

Sia $F(x,y)=varphi(x)e^(2y+5)$. Determinare $varphi(x)$ in modo che $(delf)/(delx)(x,y)=(delf)/(dely)(x,y)$.

Trovo $(delf)/(delx)(x,y)=varphi^(')(x)e^(2y+5)$ e $(delf)/(dely)(x,y)=varphi(x)e^2$.

Ma poi come vado avanti?

'
Imposti l'equazione differenziale

$varphi^(')(x)e^(2y+5) = varphi(x)e^2$

e la risolvi, ad esempio, come equazione differenziale a variabili separabili:

$(varphi^(')(x))/(varphi(x)) = e^(-2y-3)$

ecc.

[gugo82]

"tabpozz":
Sia $F(x,y)=varphi(x)e^(2y+5)$. [...]

Trovo [...] $(delf)/(dely)(x,y)=varphi(x)e^2$.

Fai bene i calcoli per questa derivata: è sbagliata.

[tabpozz]

"gugo82":Fai bene i calcoli per questa derivata: è sbagliata.

Si scusami, sarebbe $(delf)/(dely)(x,y)=varphi(x)2e^(2y+5)$.

"Cozza Taddeo":e la risolvi, ad esempio, come equazione differenziale a variabili separabili:

$(varphi^(')(x))/(varphi(x)) = e^(-2y-3)$

ecc.

Forse mi trae in inganno il fatto che non ci sia una vera e propria funzione, ma ancora non ho del tutto capito.

Inoltre l'equazione diventa $varphi^(')(x)e^(2y+5)=2varphi(x)e^(2y+5)$. Devo solo dividere?

[gugo82]

"tabpozz":Inoltre l'equazione diventa $varphi^(')(x)e^(2y+5)=2varphi(x)e^(2y+5)$.

Come suggeriva il nostro mitile noto (cioè Cozza Taddeo! Il quale aveva sbagliato i calcoli, però...), per risolvere l'esercizio ti basta determinare la funzione incognita $varphi$ partendo dalle condizioni che il problema stesso ti impone: queste si traducono nella relazione:

$varphi'(x)e^(2y+5)=2varphi(x)e^(2y+5)$

che hai scritto; questa relazione si può tranquillamente trasformare in un'equazione a variabili separabili nell'incognita $varphi$ e da integrare rispetto alla variabile $x$: ti basta tener presente che l'esponenziale non è mai nullo per nessun $y in RR$ e semplificarlo ad ambo i membri.
Terminare l'esercizio è semplice.

[tabpozz]

Ok capito! Grazie mille...