Esercizio con derivate parziali e differenziale totale
Sia $f:RR^2->RR$ data da $f(x,y)=$${\(x+ye^x se |y|>x^2),(x^2+ln1+arctg(y^2) se |y|<=x^2):}$
E' vero che f ammette derivate parziali in (0,0)?
E'vero che f soddisfa le ipotesi del teorema del diff. totale in (0,0)?
Vi prego aiutatemi non so da che partegirarmi!!!
E' vero che f ammette derivate parziali in (0,0)?
E'vero che f soddisfa le ipotesi del teorema del diff. totale in (0,0)?
Vi prego aiutatemi non so da che partegirarmi!!!
Risposte
Ciao Stefano e benvenuto sul forum,
potresti editare il titolo (usa il tasto modifica in alto a destra) mettendone uno meno generico?
Inoltre per ottenere risposta è necessario che tu mostri i tuoi tentativi di risoluzione (come da regolamento), frasi di questo genere
non servono a nulla, meglio sostituirle con qualcosa di più concreto.
potresti editare il titolo (usa il tasto modifica in alto a destra) mettendone uno meno generico?
Inoltre per ottenere risposta è necessario che tu mostri i tuoi tentativi di risoluzione (come da regolamento), frasi di questo genere
"Stefano Martinazzi":
Vi prego aiutatemi non so da che partegirarmi!!!
non servono a nulla, meglio sostituirle con qualcosa di più concreto.
Quando ho scritto che non so da che parte incominciare non stavo scherzando.
In particolar modo non sono in grado di verificare la continuità delle derivate parziali in una funzione di questo tipo,per intenderci con la graffa.
In particolar modo non sono in grado di verificare la continuità delle derivate parziali in una funzione di questo tipo,per intenderci con la graffa.
Ciao Stefano, io non sono una cima e posso solo ragionare insieme a te (se ti accontenti...)
Secondo te quali delle due funzioni bisogna prendere in considerazione nell'origine?
Secondo te quali delle due funzioni bisogna prendere in considerazione nell'origine?
Immagino che sia la seconda, perchè il punto (0,0) soddisfa la condizione$ |y|>=x^2$
Concordo, e quanto vale la funzione in corrispondenza dell'origine?
Poi vediamo come si comporta lungo l'asse y esclusa l'origine (in corrispondenza dell'asse delle ordinate quale delle due funzioni devo prendere in considerazione?).
Poi vediamo come si comporta lungo l'asse y esclusa l'origine (in corrispondenza dell'asse delle ordinate quale delle due funzioni devo prendere in considerazione?).
vale 0?
Sull'asse delle ordinate tutti i valori di |y| sono maggiori della x, a parte in (0,0)
"Stefano Martinazzi":
Immagino che sia la seconda, perchè il punto (0,0) soddisfa la condizione$ |y|>=x^2$
forse volevi scrivere
$|y|<=x^2$
"Stefano Martinazzi":
vale 0?
direi di no, a me sembra che valga $ln1$; magari mi sbaglio, tu che mi dici?
Ma ln1 non è 0 ?
Sì accidenti che sciocca 
, è vero!
In effetti non capisco perchè nella tua funzione si metta $ln1$ come addendo
, è vero!In effetti non capisco perchè nella tua funzione si metta $ln1$ come addendo
"Stefano Martinazzi":
Sia $f:RR^2->RR$ data da $f(x,y)=$${\(x+ye^x se |y|>x^2),(x^2+ln1+arctg(y^2) se |y|<=x^2):}$
E' vero che f ammette derivate parziali in (0,0)?
E'vero che f soddisfa le ipotesi del teorema del diff. totale in (0,0)?
Molto semplice, mi sono mangiato nella scrittura due parentesi, 1+arctg(y^2) è tutto l'argomento del logaritmo scusa.
Dunque la funzione è questa?
$f:RR^2->RR$ data da $f(x,y)=$${\(x+ye^x se |y|>x^2),(x^2+ln(1+arctg(y^2)) se |y|<=x^2):}$
$f:RR^2->RR$ data da $f(x,y)=$${\(x+ye^x se |y|>x^2),(x^2+ln(1+arctg(y^2)) se |y|<=x^2):}$
Esatto, scusami ancora per l'inconveniente, non sono ancora pratico .
Bene, io osserverei che anche se prendiamo in considerazione l'altra funzione il valore in corrispondenza dell'origine è 0.
Questo come mi aiuterebbe?
Beh, se trovavo già una discontinuità potevo concludere che non è derivabile lungo l'asse y, o sbaglio?
Tu ti sei fatto un'idea di quali sono le regioni in cui vale la prima funzione e quelle in cui vale la seconda?
Tu ti sei fatto un'idea di quali sono le regioni in cui vale la prima funzione e quelle in cui vale la seconda?
Non ho letto tutto il thread, ma voglio solo fare una precisazione sull'ultimo messaggio di gio: mi pare di capire che tu volessi usare l'implicazione $f$ derivabile $=> f$ continua, dico bene?
Attenzione perché è falso, in generale: esistono funzioni che ammettono derivate direzionali in ogni direzione ma che non sono continue. Condizione sufficiente per la continuità è la differenziabilità e non la derivabilità (notare che, in dimensione 1, i due concetti coincidono e infatti in Analisi I tutti impariamo che "derivabile implica continua").
Spero che il mio intervento non sia fuori luogo.
Attenzione perché è falso, in generale: esistono funzioni che ammettono derivate direzionali in ogni direzione ma che non sono continue. Condizione sufficiente per la continuità è la differenziabilità e non la derivabilità (notare che, in dimensione 1, i due concetti coincidono e infatti in Analisi I tutti impariamo che "derivabile implica continua").
Spero che il mio intervento non sia fuori luogo.
Per le derivate parziali mi basta che esistano e siano reali i limiti dei rapporti incrementali lungo y e lungo x, come faccio a verificare che le derivate parziali sono continue?
@Paolo: il tuo intervento non è affatto inoppotuno, anzi ti ringrazio.
In effetti avevo avvisato Stefano di non fidarsi troppo:
In effetti avevo avvisato Stefano di non fidarsi troppo:
"gio73":
Ciao Stefano, io non sono una cima e posso solo ragionare insieme a te (se ti accontenti...)
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