Esercizio con derivata
un bicchiere di metallo(senza tappo) ha forma cilindrica. siano r il raggio di base e h l'altezza. se S indica la superficie totale del metallo usato e V il volume totale del bicchiere, trovare fissato V, quale può essere la sua superficie minima.
come devo procedere?
dove calcolare una derivata?
se oltre alla superficie minima voglio calcolare quella massima come devo procedere?
grazie a tutti!
come devo procedere?
dove calcolare una derivata?
se oltre alla superficie minima voglio calcolare quella massima come devo procedere?
grazie a tutti!
Risposte
Definisci una funzione che ti dia la superficie in funzione del volume.
Quindi trovi il minimo di questa funzione usando le derivate (meccanismo che dovresti conoscere visto che stai facendo questi esercizi)
Prova a trovare il massimo con lo stesso metodo (sempreché esista ...)
Quindi trovi il minimo di questa funzione usando le derivate (meccanismo che dovresti conoscere visto che stai facendo questi esercizi)
Prova a trovare il massimo con lo stesso metodo (sempreché esista ...)
Ciao cri98,
Si tratta di un classico problema di minimo "evergreen"...
La superficie di base del bicchiere (cilindro) è $ S_b = \pi r^2 $, mentre la superficie laterale è $S_l = 2\pi r h $
Dato che $ V = \pi r^2 h \implies S_l = frac{2V}{r} $
In definitiva la superficie totale da minimizzare è la seguente:
$S(r) = S_b + S_l = \pi r^2 + frac{2V}{r} $
Quindi si ha:
$S'(r) = 2\pi r - frac{2V}{r^2} = 2 \cdot frac{\pi r^3 - V}{r^2} $
Per studiare il segno della derivata prima $S'(r) > 0 $, essendo il denominatore sempre positivo, basta studiare il segno del numeratore e non è difficile scoprire che la funzione superficie totale $S(r) $ presenta un minimo per $r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
Per $r = r_min $ poi si trova $ h_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} = r_min $
Concludendo si può dire che fra tutti i bicchieri aventi lo stesso volume $V$, quello che ha la superficie minima è quello con altezza uguale al raggio: $ h_min = r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
Si tratta di un classico problema di minimo "evergreen"...
La superficie di base del bicchiere (cilindro) è $ S_b = \pi r^2 $, mentre la superficie laterale è $S_l = 2\pi r h $
Dato che $ V = \pi r^2 h \implies S_l = frac{2V}{r} $
In definitiva la superficie totale da minimizzare è la seguente:
$S(r) = S_b + S_l = \pi r^2 + frac{2V}{r} $
Quindi si ha:
$S'(r) = 2\pi r - frac{2V}{r^2} = 2 \cdot frac{\pi r^3 - V}{r^2} $
Per studiare il segno della derivata prima $S'(r) > 0 $, essendo il denominatore sempre positivo, basta studiare il segno del numeratore e non è difficile scoprire che la funzione superficie totale $S(r) $ presenta un minimo per $r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
Per $r = r_min $ poi si trova $ h_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} = r_min $
Concludendo si può dire che fra tutti i bicchieri aventi lo stesso volume $V$, quello che ha la superficie minima è quello con altezza uguale al raggio: $ h_min = r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
COSA DIAMINE E' UN BICCHIERE DI METALLO SENZA TAPPO
@Vulplasir
[ot]l'ho letto con la voce di Marge[/ot]
[ot]l'ho letto con la voce di Marge[/ot]
"pilloeffe":
Ciao cri98,
Si tratta di un classico problema di minimo "evergreen"...
La superficie di base del bicchiere (cilindro) è $ S_b = \pi r^2 $, mentre la superficie laterale è $S_l = 2\pi r h $
Dato che $ V = \pi r^2 h \implies S_l = frac{2V}{r} $
In definitiva la superficie totale da minimizzare è la seguente:
$S(r) = S_b + S_l = \pi r^2 + frac{2V}{r} $
Quindi si ha:
$S'(r) = 2\pi r - frac{2V}{r^2} = 2 \cdot frac{\pi r^3 - V}{r^2} $
Per studiare il segno della derivata prima $S'(r) > 0 $, essendo il denominatore sempre positivo, basta studiare il segno del numeratore e non è difficile scoprire che la funzione superficie totale $S(r) $ presenta un minimo per $r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
Per $r = r_min $ poi si trova $ h_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} = r_min $
Concludendo si può dire che fra tutti i bicchieri aventi lo stesso volume $V$, quello che ha la superficie minima è quello con altezza uguale al raggio: $ h_min = r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
ciao, pilloeffe
guardando i calcoli mi è tutto più chiaro, però non ho capito come dalle derivata prima ottengo rmin?
come soluzioni mi vengono proposte:
1) $3 root(3)(piV^2) $
2) $ 4root(3)(piV^2) $
3) $ 2root(3)(piV^2) $
4) $ root(3)(piV^2) $
5)nessuna delle precedenti
"cri98":
guardando i calcoli mi è tutto più chiaro, però non ho capito come dalle derivata prima ottengo rmin?
Devi vedere quando la derivata prima è maggiore di $0 $, cioè
$ \pi r^3 - V > 0 \iff (root[3]{\pi} r)^3 - (root[3]{V})^3 > 0 \iff (root[3]{\pi} r - root[3]{V})[(root[3]{\pi} r)^2 + root[3]{\pi V} r + (root[3]{V})^2] > 0 $
Il trinomio fra parentesi quadre è sempre positivo, quindi è sufficiente studiare il binomio fra parentesi tonde:
$ root[3]{\pi} r - root[3]{V} > 0 \implies r > root[3]{frac{V}{\pi}} = r_{min} $
Anche se non l'hai scritto, le soluzioni proposte sono quelle per la superficie totale, quindi occorre verificare cosa diventa $ S(r) $ per $r = r_{min} = root[3]{frac{V}{\pi}} $:
$ S(r_min) = \pi r_{min}^2 + \frac{2V}{ r_{min}} = \pi \root[3]{\frac{V^2}{\pi^2}} + \frac{\root[3]{8V^3}}{\root[3]{\frac{V}{\pi}}} = \root[3]{\pi V^2} + \root[3]{8\pi V^2} = 3 \root[3]{\pi V^2} $
Pertanto la risposta corretta è la 1).
grazie pilloeffe adesso è tutto più chiaro
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