Esercizio con Cauchy
Ciao raga, mi trovo in difficoltà con questi esercizi...cioè mi blocco
sempre quando c'è da calcolare la costante da mettere dopo l'uguale.
Mi spiego.
$ y $ " $ (t) + y (t) = 7 $ con $ y (0) = 8 $ e $ y' (0) = 0 $
Ecco..
Io la trasformo in un integrale generale del tipo : Z + $ Phi $ dove Z è l' omogenea associata,
mentre $ Phi $ è il polinomio da calcolare.
Come faccio a calcolare questo polinomio??
Mi incasino tutte le volte!
Grazie mille!!!
sempre quando c'è da calcolare la costante da mettere dopo l'uguale.
Mi spiego.
$ y $ " $ (t) + y (t) = 7 $ con $ y (0) = 8 $ e $ y' (0) = 0 $
Ecco..
Io la trasformo in un integrale generale del tipo : Z + $ Phi $ dove Z è l' omogenea associata,
mentre $ Phi $ è il polinomio da calcolare.
Come faccio a calcolare questo polinomio??
Mi incasino tutte le volte!
Grazie mille!!!
Risposte
ragazzi per favore...mi sapreste aiutare? se sono stato poco kiaro ditemelo..!! GRAZIE!!
La soluzione generale dell'equazione differenziale $y''(t)+y(t)=7$ è $y=c_1*cos(x)+c_2*sin(x)+7$
La soluzione del problema di Cauchy è: $y=cos(x)+7$
La soluzione del problema di Cauchy è: $y=cos(x)+7$
Grazie mille, ma quello che io non capisco è il come fare a trovare quel +7 finale nella soluzione!
Mi potresti spiegare su come si fa?
Grazie !!!!!!!!!!!!!
Mi potresti spiegare su come si fa?
Grazie !!!!!!!!!!!!!
In questo caso la soluzione particolare la ricavi scrivendo intanto il polinomio generale dello stesso grado di 7, ossia di grado zero.
$P=a$ poi affinche questo polinomio verifichi l'equazione data si deve verificare che:
$P''+P=7$ quindi $0+a=7=>a=7$ ecco trovata la soluzione particolare...
$y''(t)+y(t)=7$ è $y=c_1*cos(t)+c_2*sin(t)+a$ sarebbe la soluzione generale quindi:
$y''(t)+y(t)=7$ è $y=c_1*cos(t)+c_2*sin(t)+7$ adesso poi per imporre le condizioni iniziali:
$y(0)=8=c_1+0+7=>c_1=1$
$y'=-c_1sin(t)+c_2cos(t)=>y'(0)=0=c_2$
Quindi alla fine il problema di Cauchy è:
$y(t)=8cos(t)+7$$
EDIT: ho modificato il coefficiente errato.
$P=a$ poi affinche questo polinomio verifichi l'equazione data si deve verificare che:
$P''+P=7$ quindi $0+a=7=>a=7$ ecco trovata la soluzione particolare...
$y''(t)+y(t)=7$ è $y=c_1*cos(t)+c_2*sin(t)+a$ sarebbe la soluzione generale quindi:
$y''(t)+y(t)=7$ è $y=c_1*cos(t)+c_2*sin(t)+7$ adesso poi per imporre le condizioni iniziali:
$y(0)=8=c_1+0+7=>c_1=1$
$y'=-c_1sin(t)+c_2cos(t)=>y'(0)=0=c_2$
Quindi alla fine il problema di Cauchy è:
$y(t)=8cos(t)+7$$
EDIT: ho modificato il coefficiente errato.
ok ho capito grazie !!! Ho ancora una domanda... nel caso mancasse y ? e ci fosse solo y" e y' ?
come funziona?
come funziona?
Basta sapere come si risolvono le equazioni non omogenee del secondo ordine.
In quel caso il polinomio associato non sarà $z^2+1=0$, bensì: $z^2+z=0$.
In quel caso il polinomio associato non sarà $z^2+1=0$, bensì: $z^2+z=0$.
quello lo so, ma io mi riferisco al solito problema di prima... l' = 7.
Cosa devo fare?
Cosa devo fare?
"cavallipurosangue":
$y''(t)+y(t)=7$ è $y=c_1*cos(t)+c_2*sin(t)+7$ adesso poi per imporre le condizioni iniziali:
$y(0)=8=c_1+0=>c_1=8$
Hai commesso un errore: $y(0)=8=c_1+7$ quindi $8=c_1+7$ quindi $-c_1=-1$ quindi $c_1=1$
nel caso fosse $ y $" $(t) + y'(t) = 7 $ come va risolto l'esercizio?
Come faccio a trovare il polinomio da aggiungere dopo l' uguale ?
Come faccio a trovare il polinomio da aggiungere dopo l' uguale ?
"leo203":
nel caso fosse $ y $" $(t) + y'(t) = 7 $ come va risolto l'esercizio?
Come faccio a trovare il polinomio da aggiungere dopo l' uguale ?
Esiste il metodo delle costanti indeterminate.
Essendo l'equazione differenziale proposta nella forma $ay''+by'+cy=d(x)$ e essendo $b!=0$ e $c=0$, si dovrà trovare un polinomio di grado n+1. Quindi il polinomio $bar y(x)$ da trovare sarà nella forma $bar y(x)=a_1x+a_0$. Quindi derivando si ottiene: $bar d'(x)=a_1$ e $bar d''(x)=0$. Sostituiamo ora la soluzione all'equazione, e si ha: $bar y'' + bar y' = a_1+a_1x+a_0$. Ora riordiniamo i termini in base al grado maggiore: $a_1x+a_1+a_0$. Affinchè
$bar y'' + bar y' = 7$ si deve avere $a_1,a_0$ rispettivamente: $a_1=7$ di conseguenza $a_0=-7$. Quindi l'integrale generale richiesto sarà:
$y=c_1e^(-x)+c_2+7x-7$
$y'-y/(x+3)=sqrt(x+2)$
$y(-2)=1$
non riesco a risolverlo, mi viene un integrale esponenziale con esponente negativo, e non posso separare le x dalle y per integrarle, voi come fareste a risolverlo?
$y(-2)=1$
non riesco a risolverlo, mi viene un integrale esponenziale con esponente negativo, e non posso separare le x dalle y per integrarle, voi come fareste a risolverlo?
Ma che problema ti da un espeonenziale negativo? Si integra benissimo!
$\inte^{-x}dx=-e^{-x}$
Per esempio.
$\inte^{-x}dx=-e^{-x}$
Per esempio.
"cavallipurosangue":
Ma che problema ti da un espeonenziale negativo? Si integra benissimo!
$\inte^{-x}dx=-e^{-x}$
Per esempio.
Di questo no, per questo non capisco come si possa risolvere quel problema di cauchy nonostante mi sia stata data la formula risolutiva
$\inte^{-1/sqrt(3)*tan(x/sqrt(3))}dx= ? $
Mi illustreresti la soluzione? io mi fermo all'integrazione purtroppo
Ok ecco la mia soluzione:
Userò la formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine, osservando che il dominio è $x>=-2$ e quindi $x+3>0,\forallx$:
$y(x)=e^{(-\int-1/{x+3}dx)}[c+\int\sqrt{x+2}\cdote^{(\int-1/{x+3}dx)}dx]=(x+3)[c+\int\sqrt{x+2}/{x+3}dx]=(x+3)(c+2\sqrt{x+2}-2\text{arctan}\sqrt{x+2})=$
$=c(x+3)+2(x+3)\sqrt{x+2}-2(x+3)\text{arctan}\sqrt{x+2}$
Quindi la soluzione dell'equazione differenziale è:
$y(x)=c(x+3)+2(x+3)\sqrt{x+2}-2(x+3)\text{arctan}\sqrt{x+2}$
Imponendo le condizioni iniziali:
$y(-2)=1=c+0+0=>c=1$
Quindi la soluzione del problema di Cauchy è:
$y(x)=(x+3)(1+2\sqrt{x+2})-2\text{arctan}\sqrt{x+2})$
Userò la formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine, osservando che il dominio è $x>=-2$ e quindi $x+3>0,\forallx$:
$y(x)=e^{(-\int-1/{x+3}dx)}[c+\int\sqrt{x+2}\cdote^{(\int-1/{x+3}dx)}dx]=(x+3)[c+\int\sqrt{x+2}/{x+3}dx]=(x+3)(c+2\sqrt{x+2}-2\text{arctan}\sqrt{x+2})=$
$=c(x+3)+2(x+3)\sqrt{x+2}-2(x+3)\text{arctan}\sqrt{x+2}$
Quindi la soluzione dell'equazione differenziale è:
$y(x)=c(x+3)+2(x+3)\sqrt{x+2}-2(x+3)\text{arctan}\sqrt{x+2}$
Imponendo le condizioni iniziali:
$y(-2)=1=c+0+0=>c=1$
Quindi la soluzione del problema di Cauchy è:
$y(x)=(x+3)(1+2\sqrt{x+2})-2\text{arctan}\sqrt{x+2})$
Per risolvere l'equazione abbiamo trovato le primitive in questo modo:
$e^{(\int1/{x+3}dx)}=e^(log(x+3))=x+3$
$e^{(-\int1/{x+3}dx)}=e^(-log(x+3))=1/{x+3}$
Per questo invece ho posto $t=\sqrt{x+2}=>dx=2dt$
$\int\sqrt{x+2}/{x+3}dx=2\intt^2/{t^2+1}dt=2\int{t^2+1}/{t^2+1}-1/{t^2+1}dt=2\intdt-2\int1/{t^2+1}dt=2t-2\text{arctan}t=2\sqrt{x+2}-2\text{arctan}\sqrt{x+2}$
$e^{(\int1/{x+3}dx)}=e^(log(x+3))=x+3$
$e^{(-\int1/{x+3}dx)}=e^(-log(x+3))=1/{x+3}$
Per questo invece ho posto $t=\sqrt{x+2}=>dx=2dt$
$\int\sqrt{x+2}/{x+3}dx=2\intt^2/{t^2+1}dt=2\int{t^2+1}/{t^2+1}-1/{t^2+1}dt=2\intdt-2\int1/{t^2+1}dt=2t-2\text{arctan}t=2\sqrt{x+2}-2\text{arctan}\sqrt{x+2}$
Grazie mille, ora ho capito 
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