Esercizio compattezza
Buongiorno, qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi con questo problema?? L'esercizio chiede se l'insieme $ H={(x,y) in RR^2 |-1 <= x^3+xy+y^3 <= 1}$ è compatto. L'insieme è chiaramente chiuso e graficamente risulta non limitato e quindi non compatto ma non riesco a dimostrarlo analiticamente.
Risposte
Ciao Gnagni,
Perché?
$- 1 \le x^3+xy+y^3 \le 1 \iff |x^3 + xy + y^3| <= 1 $
Cioè si ha $|f(x, y)| \le M $ con $f(x,y) = x^3+xy+y^3 $ e $M = 1$
"Gnagni":
graficamente risulta non limitato
Perché?
$- 1 \le x^3+xy+y^3 \le 1 \iff |x^3 + xy + y^3| <= 1 $
Cioè si ha $|f(x, y)| \le M $ con $f(x,y) = x^3+xy+y^3 $ e $M = 1$
"pilloeffe":
Ciao Gnagni,
[quote="Gnagni"]graficamente risulta non limitato
Perché?
$- 1 \le x^3+xy+y^3 \le 1 \iff |x^3 + xy + y^3| <= 1 $
Cioè si ha $|f(x, y)| \le M $ con $f(x,y) = x^3+xy+y^3 $ e $M = 1$[/quote]
Non dimostri che l'insieme è limitato, quella è la condizione.
Quale condizione? Scusa, qual è la definizione di insieme limitato?
Però pilloeffe, la condizione $|f(x,y)| le M$ non definisce necessariamente un insieme limitato, dipende dalla funzione $f$. Per esempio $|xy| le 1$ definisce un insieme illimitato.
Ciao Martino,
Sì, hai ragione. Chiedo scusa.
Sì, hai ragione. Chiedo scusa.
@Gnami Prova a costruire una successione illimitata contenuta in \(H\).
"j18eos":
@Gnami Prova a costruire una successione illimitata contenuta in \(H\).
Ehh ho provato ma come faccio se non ho idea di come sono fatti i punti di H? Oppure ho tentato di dimostrare che per ogni x fissato esiste un y che soddisfa la condizione ma nemmeno così arrivo lontano
Prova a dimostrare che, se fissi un qualsiasi $y in RR$, l'equazione $x^3+xy+y^3=0$ (nell'incognita $x$) ha soluzioni reali.
"Gnagni":
graficamente risulta non limitato e quindi non compatto ma non riesco a dimostrarlo analiticamente.
Ma sei sicuro che non è limitato? A me viene questo (con Desmos):
Sembra che quelle code sottili vanno a finire.
.
Ah, giusto, in effetti Martino aveva detto di dimostrarlo. Non lo avevo letto.
"Gnagni":
Buongiorno, qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi con questo problema?? L'esercizio chiede se l'insieme $ H={(x,y) in RR^2 |-1 <= x^3+xy+y^3 <= 1}$ è compatto. L'insieme è chiaramente chiuso e graficamente risulta non limitato e quindi non compatto ma non riesco a dimostrarlo analiticamente.
L'espressione centrale e' simmetrica in $x$ e $y$, ovvero puoi scambiare le due variabili senza che cambi nulla.
Questo e' un forte indizio che la funzione puo' essere "ruotata" di 45 gradi e che il dominio diventi y-normale.
Sostituendo $x$ con $-x+y$ e $y$ con $x+y$ si ottiene
$\left(-x+y\right)^{3}\ +\left(x+y\right)^{3}\ +\left(x+y\right)\left(-x+y\right)+1=0$
ovvero
$2y^{3\ }+6yx^{2}+y^{2}-x^{2}+1=0$
ovvero
$x^2 = -(2y^{3\ }+y^{2}+1)/(6y-1)$
Se prendi il limite per $y -> 1/6$ ottieni infinito, e quindi anche la $x$ va a infinito. Quindi l'insieme non e' limitato.
PS.
Attenzione ai tools grafici, vanno benissimo per farsi un'idea, ma quello che si vede e' sempre un'approssimazione.
"Gnagni":
graficamente risulta non limitato e quindi non compatto ma non riesco a dimostrarlo analiticamente.
Non riuscivo a capire come Gnagni faceva a vedere graficamente con questa certezza che l'insieme H risulta illimitato.
Per quanto possa essere un problema di definizione (grafica) e per quanto si possa aumentare la definizione, cosa ci dice che quelle code non finiscano lontanissimo dove non le vediamo?
Perciò mi sembrava che l'illimitatezza si potesse vedere solo per via analitica.
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