Esercizio caratteristiche successioni convergenti.
Siano '' ${a_n}$ '' una successione a valori reali e '' $a$ '' un numero reale. Studiare se le seguenti affermazioni sono vere o false. In caso affermativo dimostrare, altrimenti fornire un controesempio.
A - '' $a_ntoa$ '', con '' $a_n>=0Rightarrowsqrt(a_n)tosqrta$ ''.
B - '' ${a_n}$ '' converge.$Rightarrow$La successione '' $b_n-=a_(n+1)-a_nto0$ ''.
C - $b_n-=a_(n+1)-a_nto0Rightarrow$'' $a_n$ '' converge.
Chiedo se è esatto quello che ho fatto.
A - $a_ntoaRightarrowAAepsilon>0,EEn_0:AAn>=n_0,d(a_n,a)
Non ci sono restrizioni per: $a>1,a=1,0<=a<1$.
B - $lim_{ntooo}a_n=lRightarrowAAepsilon>0,EEn_0:AAn>=n_0,d(a_n,l)
$d(a_(n_1),l)<=d(a_(n_0),l)n_1$. Allora:
$d(a_(n_1),l)>=d(a_(n_2),l)Rightarrowd(a_(n_1),l)-d(a_(n_2),l)=delta>=0Rightarrowdelta
Non si può affermare a priori che per '' $ntooo$ '' la successione tenda ad un valore finito. Basta che una costante sia ottenibile entro un certo numero finito di elementi della successione. Basti pensare a '' $delta_n=1/n$ ''.
Questo è quanto.
A - '' $a_ntoa$ '', con '' $a_n>=0Rightarrowsqrt(a_n)tosqrta$ ''.
B - '' ${a_n}$ '' converge.$Rightarrow$La successione '' $b_n-=a_(n+1)-a_nto0$ ''.
C - $b_n-=a_(n+1)-a_nto0Rightarrow$'' $a_n$ '' converge.
Chiedo se è esatto quello che ho fatto.
A - $a_ntoaRightarrowAAepsilon>0,EEn_0:AAn>=n_0,d(a_n,a)
Non ci sono restrizioni per: $a>1,a=1,0<=a<1$.
B - $lim_{ntooo}a_n=lRightarrowAAepsilon>0,EEn_0:AAn>=n_0,d(a_n,l)
$d(a_(n_1),l)<=d(a_(n_0),l)
$d(a_(n_1),l)>=d(a_(n_2),l)Rightarrowd(a_(n_1),l)-d(a_(n_2),l)=delta>=0Rightarrowdelta
Non si può affermare a priori che per '' $ntooo$ '' la successione tenda ad un valore finito. Basta che una costante sia ottenibile entro un certo numero finito di elementi della successione. Basti pensare a '' $delta_n=1/n$ ''.
Questo è quanto.
Risposte
Hai risposto correttamente, ma non capisco perché, nelle dimostrazioni, non fai vedere direttamente che le distanze (nei primi due casi) siano minori di epsilon.
L'ultima invece, non ho ben chiaro come giungi alla conclusione.
Cmq, le prime due anche dimostrate così, potrebbero andare... magari andrebbero scritte meglio.
L'ultima invece, non ho ben chiaro come giungi alla conclusione.
Cmq, le prime due anche dimostrate così, potrebbero andare... magari andrebbero scritte meglio.
Grazie davvero, so che questo topic è noioso da leggere. Comunque:
A - Per chiarire ulteriormente aggiungerei ( nel caso di '' $a>1$ '', poiché gli altri casi sono analoghi, anche se con i dovuti accorgimenti ): $sqrt(a_n)=sqrt(a-epsilon_1)$. Sia: $epsilon_2=sqrta-sqrt(a_n)$.
Allora: $AAepsilon_2>0,EEn_0:AAn>=n_0,d(sqrta,sqrt(a_n))
C - Basta porre nella successione costruita '' $a_n$ '', la successione degli incrementi '' $delta_j$ '' in modo che: $delta_j=1/n$. Evidente che per '' $jtooo$ '': $a_ntooo$. Ovvero divergenza e non convergenza.
Infatti, generalmente, con '' $a_n$ '' impostata in quel modo ( '' $a_n=a_1+sum_{j=1}^ndelta_j$ '' ) e senza specificare '' $delta_j$ '' non si può sapere a priori se '' $a_n$ '' convergerà.
Spero di essere stato più chiaro.
A - Per chiarire ulteriormente aggiungerei ( nel caso di '' $a>1$ '', poiché gli altri casi sono analoghi, anche se con i dovuti accorgimenti ): $sqrt(a_n)=sqrt(a-epsilon_1)$. Sia: $epsilon_2=sqrta-sqrt(a_n)$.
Allora: $AAepsilon_2>0,EEn_0:AAn>=n_0,d(sqrta,sqrt(a_n))
C - Basta porre nella successione costruita '' $a_n$ '', la successione degli incrementi '' $delta_j$ '' in modo che: $delta_j=1/n$. Evidente che per '' $jtooo$ '': $a_ntooo$. Ovvero divergenza e non convergenza.
Infatti, generalmente, con '' $a_n$ '' impostata in quel modo ( '' $a_n=a_1+sum_{j=1}^ndelta_j$ '' ) e senza specificare '' $delta_j$ '' non si può sapere a priori se '' $a_n$ '' convergerà.
Spero di essere stato più chiaro.
Come dice ciampax, la scrittura sembra un pò contorta, però mi pare vada bene (anche se faccio un pò di fatica a seguirti).
Per il C va bene quello che dici: se l'implicazione fosse vera ogni successione convergente a 0 avrebbe serie associata convergente, e giustamente la serie armonica è un esempio.
Il B è correlata alla condizione di Cauchy.
Per il C se sai cosa è una funzione lipschitziana si conclude facilmente.
Però non ti dovrebbe far male prendere un pò di dimestichezza con gli epsilon delta.
Ciao
Per il C va bene quello che dici: se l'implicazione fosse vera ogni successione convergente a 0 avrebbe serie associata convergente, e giustamente la serie armonica è un esempio.
Il B è correlata alla condizione di Cauchy.
Per il C se sai cosa è una funzione lipschitziana si conclude facilmente.
Però non ti dovrebbe far male prendere un pò di dimestichezza con gli epsilon delta.
Ciao
Già che ci siamo, ti scrivo come avrei risposto io alla seconda, per esempio. Per ipotesi abbiamo che
$$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ n_\epsilon>0\ :\ \forall\ n>n_\epsilon\ \Rightarrow\ |a_n-a|<\epsilon$$
dove $a\in RR$ è il valore a cui converge la successione. Sotto la scelta di $\epsilon,\ n_\epsilon$ come prima si ha pure
$$|b_n|=|a_{n+1}-a_n|=|a_{n+1}-a+(a-a_n)|\le|a_{n+1}-a|+|a_n-a|<2\epsilon$$
avendo usato la disuguaglianza triangolare. Ne segue che, ribattezzando $2\espilon$ con $\epsilon$
$$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ n_\epsilon>0\ :\ \forall\ n>n_\epsilon\ \Rightarrow\ |b_n|<\epsilon$$
da cui l'asserto.
Potresti provare a riscrivere le tue conclusioni seguendo questa via (nota che quello che tu indichi con $d(a_n,a)$ io lo indico con l'espressione in valore assoluto, ma è la stessa cosa).
$$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ n_\epsilon>0\ :\ \forall\ n>n_\epsilon\ \Rightarrow\ |a_n-a|<\epsilon$$
dove $a\in RR$ è il valore a cui converge la successione. Sotto la scelta di $\epsilon,\ n_\epsilon$ come prima si ha pure
$$|b_n|=|a_{n+1}-a_n|=|a_{n+1}-a+(a-a_n)|\le|a_{n+1}-a|+|a_n-a|<2\epsilon$$
avendo usato la disuguaglianza triangolare. Ne segue che, ribattezzando $2\espilon$ con $\epsilon$
$$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ n_\epsilon>0\ :\ \forall\ n>n_\epsilon\ \Rightarrow\ |b_n|<\epsilon$$
da cui l'asserto.
Potresti provare a riscrivere le tue conclusioni seguendo questa via (nota che quello che tu indichi con $d(a_n,a)$ io lo indico con l'espressione in valore assoluto, ma è la stessa cosa).
Per quanto riguarda la prima questione, per la convergenza di \(\sqrt{a_n}\) basta notare che vale la disuguaglianza di Hölder:
\[
\left| \sqrt{x} - \sqrt{y}\right|\leq \sqrt{|x-y|}
\]
per \(x,y\geq 0\).
Per la B, quella è una conseguenza immediata (oltre che della disuguaglianza triangolare, come diceva ciampax) del classico criterio di convergenza di Cauchy.
Per l'ultima questione, sinceramente, non ho capito dove vuoi arrivare...
E, ad ogni modo, l'affermazione C è falsa (e tendenziosa
): infatti, se \(a_n=\ln n\) hai:
\[
b_n=\ln (n+1) - \ln n = \ln \left( 1+\frac{1}{n}\right)\to 0
\]
e però \(a_n\) si guarda bene dal convergere.
\[
\left| \sqrt{x} - \sqrt{y}\right|\leq \sqrt{|x-y|}
\]
per \(x,y\geq 0\).
Per la B, quella è una conseguenza immediata (oltre che della disuguaglianza triangolare, come diceva ciampax) del classico criterio di convergenza di Cauchy.
Per l'ultima questione, sinceramente, non ho capito dove vuoi arrivare...
E, ad ogni modo, l'affermazione C è falsa (e tendenziosa
): infatti, se \(a_n=\ln n\) hai:\[
b_n=\ln (n+1) - \ln n = \ln \left( 1+\frac{1}{n}\right)\to 0
\]
e però \(a_n\) si guarda bene dal convergere.
Vi ringrazio tutti.
@DajeForte.
Non avevo pensato alla funzione lipschitziana ( e holderiana ): quando ho postato questo esercizio non le avevo ancora studiate ( le ho incontrate, in appendice, nello studio sulla continuità ).
@ciampax.
Alla fin fine in '' B '' mi baso su due punti della successione infinitamente vicini ( all'interno di un intorno del limite ).
Effettivamente potevo affrontarlo in maniera più semplice, ma l'importante è che sia coerente la dimostrazione dell'esercizio.
Grazie per il contributo.
@gugo82.
Mi è piaciuto l'esempio con il logaritmo.
In '' C '': $a_(n+1)-a_n=delta_nto0$. Però: $a_ntooo$.
Questo in base alla costituzione della successione che ho impostato.
@DajeForte.
Non avevo pensato alla funzione lipschitziana ( e holderiana ): quando ho postato questo esercizio non le avevo ancora studiate ( le ho incontrate, in appendice, nello studio sulla continuità ).
@ciampax.
Alla fin fine in '' B '' mi baso su due punti della successione infinitamente vicini ( all'interno di un intorno del limite ).
Effettivamente potevo affrontarlo in maniera più semplice, ma l'importante è che sia coerente la dimostrazione dell'esercizio.
Grazie per il contributo.
@gugo82.
Mi è piaciuto l'esempio con il logaritmo.
In '' C '': $a_(n+1)-a_n=delta_nto0$. Però: $a_ntooo$.
Questo in base alla costituzione della successione che ho impostato.
"_GaS_":
Vi ringrazio tutti.
@DajeForte.
Non avevo pensato alla funzione lipschitziana ( e holderiana ): quando ho postato questo esercizio non le avevo ancora studiate ( le ho incontrate, in appendice, nello studio sulla continuità)
Ovvero ieri visto che l'op è di ieri, appunto?
Comunque se ti interessa la dimostrazione lavora: se a=0 si can epsilon delta molto easy.
Se a> 0, consideri la funzione $f(x)=x^p$, definita in $[a/2,3/2 a]$ e concludi.
Però se sei agli inizi, lo scopo dell'esercizio non penso sia questo.
Ciao
No, era qualche settimana fa. Però non aveva ricevuto risposta e ieri ho cliccato su bump ( o qualcosa del genere ): lo ha portato in testa ai topic, ma ha modificato la data. 
Al momento sono costretto ad evitare la soluzione che proponi, comunque ti ringrazio per il consiglio.
Al momento sono costretto ad evitare la soluzione che proponi, comunque ti ringrazio per il consiglio.
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