Esercizio carattere serie
Ciao a tutti! avrei un problema con questo esercizio:
Studiare il carattere della seguente serie numerica:
[tex]\sum_{n=1}^{inf} (\frac{(n^2-1)arctg(n^2))}{(n^3+n)})(1-cos(\frac{1}{\sqrt(n+4)})[/tex]
E' un esercizio d'esame e non so come procedere... innanzitutto vi pongo delle domande che mi stanno turbando da un po'
io sapevo che gli sviluppi di Mc Laurin si possono utilizzare solamente in centro=0, la serie invece ha come limite n->+inf, ma nella maggior parte degli esercizi gli sviluppi vengono utilizzati comunque, perchè questo?
Premesso questo, a prima occhiata mi sembra basti sviluppare l'arctg e il cos utilizzando appunto gli sviluppi, però poi non so come procedere!
Studiare il carattere della seguente serie numerica:
[tex]\sum_{n=1}^{inf} (\frac{(n^2-1)arctg(n^2))}{(n^3+n)})(1-cos(\frac{1}{\sqrt(n+4)})[/tex]
E' un esercizio d'esame e non so come procedere... innanzitutto vi pongo delle domande che mi stanno turbando da un po'
io sapevo che gli sviluppi di Mc Laurin si possono utilizzare solamente in centro=0, la serie invece ha come limite n->+inf, ma nella maggior parte degli esercizi gli sviluppi vengono utilizzati comunque, perchè questo?
Premesso questo, a prima occhiata mi sembra basti sviluppare l'arctg e il cos utilizzando appunto gli sviluppi, però poi non so come procedere!
Risposte
La serie numerica
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{(n^2-1)\arctan n^2}{n^3+n}\right)\left(1-\cos\frac{1}{\sqrt{n+4}}\right),
\end{align}
è evidentemente a termini positivi; a questo punto puoi appplicare uno dei criteri per tali serie. Gli sviluppi vanno bene, infaatti ricorda che, ad esempio
\[1-\cos\frac{1}{n}\sim \frac{1}{2n^2},\quad n\to+\infty.\]
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{(n^2-1)\arctan n^2}{n^3+n}\right)\left(1-\cos\frac{1}{\sqrt{n+4}}\right),
\end{align}
è evidentemente a termini positivi; a questo punto puoi appplicare uno dei criteri per tali serie. Gli sviluppi vanno bene, infaatti ricorda che, ad esempio
\[1-\cos\frac{1}{n}\sim \frac{1}{2n^2},\quad n\to+\infty.\]
Ho capito, ma come sviluppi di Taylor posso usare quelli di Mac Laurin o per le serie ci sono altri sviluppi? L'arctg non posso svilupparla? Un'altra cosa, che non mi è molto chiara, come faccio a vedere che la serie è a termini positivi?
Cominciamo dalla prima domanda:
[*:3a8uf2mm] Gli svilupppi di Taylor, in particolare di Mc Laurin, sono unici; il fatto che ci si stia occupando di serie numeriche anzichè di funzioni o altro, non deve influenare il concetto di fondo; prendiamo ad esempo i secondo fattore del termine generale della serie, con un'opportuna sostituzione, avremo:
\begin{align} 1-\cos\frac{1}{\sqrt{n+4}},\quad \mbox{posto}\quad t=\frac{1}{\sqrt{n+4}};\end{align}
chiaramente se $n\to+\infty,$ avremo che $t\to0$ e dunque il fattore diviene:
\begin{align} 1-\cos t &\stackrel{\bf(T)}{=}1-\left(1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}+o\left( t^4 \right)\right)\\
&=1- 1+\frac{t^2}{2!}-\frac{t^4}{4!}+o\left( t^4 \right)\\
&=\frac{t^2}{2!}-\frac{t^4}{4!}+o\left( t^2 \right),\quad \mbox{risostituendo,}\\
&=\frac{1}{2!}\left(\frac{1}{\sqrt{n+4}}\right)^2-\frac{1}{4!}\left(\frac{1}{\sqrt{n+4}}\right)^4+o\left( \left(\frac{1}{\sqrt{n+4}}\right)^4 \right)\\
&= \frac{1}{ 2(n+4) } -\frac{1}{4!(n+4)^4}+o\left( \frac{1}{(n+4)^4} \right).
\end{align}
Quindi nello studio del comportamento asintotico puoi sostituire al posto del secondo fattore l'approssimazione di Taylor cosi ottenuta;[/*:m:3a8uf2mm]
[*:3a8uf2mm] naturalmente, per poter applicare il criterio del confronto asintotico, che in questo caso è senz'altro la via più indicata, bisogna ssicurarsi che la serie sia a termini positivi; per fare questo basta osservare che :
[*:3a8uf2mm] $n^2-1>0, \forall n>1,$ in quanto partendo da $1$ l'indice di somma, quel termine è senz'altro positivo;[/*:m:3a8uf2mm]
[*:3a8uf2mm]$\arctan n^2>0, \forall n>1,$ in qunato l'arcotangente è sempre positiva per $n>0;$ [/*:m:3a8uf2mm]
[*:3a8uf2mm] $n^3-n>0, \forall n>1,$ per gli stessi motivi di cui sopra;[/*:m:3a8uf2mm]
[*:3a8uf2mm] $1-\cos\frac{1}{\sqrt{n+4}}>0, forall n>1,$ poichè $cos n<1,$ quella quantità risulta sempre positiva;[/*:m:3a8uf2mm][/list:u:3a8uf2mm]
in conclusione la serie è a termini positivi , e si può dunque applicare il confronto asinotico.[/*:m:3a8uf2mm][/list:u:3a8uf2mm]
Grazie mille per la risposta 
quindi con lo stesso concetto posso sviluppare anche L'arctg?
quindi con lo stesso concetto posso sviluppare anche L'arctg?
ma l'arctan quando $n\to+\infty$ cosa fa?
Giusto, tende a Pi/2!
esattamente, quindi non serve sviluppare nulla!
Già !grazie di tutto!
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