Esercizio campo vettoriale e potenziale
Vi posto un esercizio di un compito di analisi 2, non avendo modo di saper se è corretto volevo sapere se il mio svolgimento e le mie argomentazioni sono giuste. Grazie a chi mi aiuterà.
Sia dato il campo vettoriale:
$ bar(F) = (2yz+2y^2, 2xz+axy, 2xy+1) $
a)determinare, se esistono, dei valori della costante a per cui il campo è conservativo, e in tali casi determinare il potenziale U del campo tale che U(0,0,2)=0.
b)Per a=5 calcolare il lavoro del campo lungo i tre lati del triangolo di vertici A=(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2) percorsi muovendosi da A a B.
punto a:
Per far si che il camo vettoriale sia conservativo sono sufficienti che siano verificate due ipotesi: primo che il campo sia irrotazionale (ovvero che il prodotto vettoriale tra gradiente e campo sia nullo e secondo che l'insieme in cui è definito il campo sia semplicemente connesso e lo è.
rimane da vedere per quali valori di $a$ è irrotazionale:
$ (partial F_3)/(partial y) - (partial F_2)/(partial z) = 2x-2x=0 $
$ (partial F_1)/(partial z) - (partial F_3)/(partial x) = 2y-2y=0 $
$ (partial F_2)/(partial x) - (partial F_1)/(partial y) = 2z+ay-(2z+4y)=0 $ evidentemente il campo è irrotazionale e quindi conservatio solo per $a=4$.
Bene ora, dato che ho dimostrato che per a=4 il campo è conservativo, cerco il potenziale $U(x,y,z)$. Ho usato il metodo di integrazione, e se ho fatto tutto giusto mi torna che:
$U(x,y,z)=2xyz+2xy^2+z+c$ e dato che deve essere U(0,0,2)=0 abbiamo che la costante è -2. (questo l'ho fatto ad intuito non avevo mai visto un esercizio del genere)
b) allora qui non so come procedere. So che per a=5 il campo non è conservativo quindi non posso usare il potenziale per calcolare il lavoro. inoltre non capisco se la curva è chiusa o no, se si va da A ad A o no. che fare?
Sia dato il campo vettoriale:
$ bar(F) = (2yz+2y^2, 2xz+axy, 2xy+1) $
a)determinare, se esistono, dei valori della costante a per cui il campo è conservativo, e in tali casi determinare il potenziale U del campo tale che U(0,0,2)=0.
b)Per a=5 calcolare il lavoro del campo lungo i tre lati del triangolo di vertici A=(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2) percorsi muovendosi da A a B.
punto a:
Per far si che il camo vettoriale sia conservativo sono sufficienti che siano verificate due ipotesi: primo che il campo sia irrotazionale (ovvero che il prodotto vettoriale tra gradiente e campo sia nullo e secondo che l'insieme in cui è definito il campo sia semplicemente connesso e lo è.
rimane da vedere per quali valori di $a$ è irrotazionale:
$ (partial F_3)/(partial y) - (partial F_2)/(partial z) = 2x-2x=0 $
$ (partial F_1)/(partial z) - (partial F_3)/(partial x) = 2y-2y=0 $
$ (partial F_2)/(partial x) - (partial F_1)/(partial y) = 2z+ay-(2z+4y)=0 $ evidentemente il campo è irrotazionale e quindi conservatio solo per $a=4$.
Bene ora, dato che ho dimostrato che per a=4 il campo è conservativo, cerco il potenziale $U(x,y,z)$. Ho usato il metodo di integrazione, e se ho fatto tutto giusto mi torna che:
$U(x,y,z)=2xyz+2xy^2+z+c$ e dato che deve essere U(0,0,2)=0 abbiamo che la costante è -2. (questo l'ho fatto ad intuito non avevo mai visto un esercizio del genere)
b) allora qui non so come procedere. So che per a=5 il campo non è conservativo quindi non posso usare il potenziale per calcolare il lavoro. inoltre non capisco se la curva è chiusa o no, se si va da A ad A o no. che fare?
Risposte
Ad occhio direi che la a) è giusta. Per la b) devi calcolare esplicitamente l'integrale di linea del campo sul triangolo (quindi curva chiusa) e verificare che non sia nullo.
"singularity":
Ad occhio direi che la a) è giusta. Per la b) devi calcolare esplicitamente l'integrale di linea del campo sul triangolo (quindi curva chiusa) e verificare che non sia nullo.
ok grazie
Prego! Fammi sapere se ti torna!
"Stanzi96":
Vi posto un esercizio di un compito di analisi 2, non avendo modo di saper se è corretto volevo sapere se il mio svolgimento e le mie argomentazioni sono giuste. Grazie a chi mi aiuterà.
Sia dato il campo vettoriale:
$ bar(F) = (2yz+2y^2, 2xz+axy, 2xy+1) $
a)determinare, se esistono, dei valori della costante a per cui il campo è conservativo, e in tali casi determinare il potenziale U del campo tale che U(0,0,2)=0.
b)Per a=5 calcolare il lavoro del campo lungo i tre lati del triangolo di vertici A=(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2) percorsi muovendosi da A a B.
punto a:
Per far si che il camo vettoriale sia conservativo sono sufficienti che siano verificate due ipotesi: primo che il campo sia irrotazionale (ovvero che il prodotto vettoriale tra gradiente e campo sia nullo e secondo che l'insieme in cui è definito il campo sia semplicemente connesso e lo è.
rimane da vedere per quali valori di $a$ è irrotazionale:
$ (partial F_3)/(partial y) - (partial F_2)/(partial z) = 2x-2x=0 $
$ (partial F_1)/(partial z) - (partial F_3)/(partial x) = 2y-2y=0 $
$ (partial F_2)/(partial x) - (partial F_1)/(partial y) = 2z+ay-(2z+4y)=0 $ evidentemente il campo è irrotazionale e quindi conservatio solo per $a=4$.
Bene ora, dato che ho dimostrato che per a=4 il campo è conservativo, cerco il potenziale $U(x,y,z)$. Ho usato il metodo di integrazione, e se ho fatto tutto giusto mi torna che:
$U(x,y,z)=2xyz+2xy^2+z+c$ e dato che deve essere U(0,0,2)=0 abbiamo che la costante è -2. (questo l'ho fatto ad intuito non avevo mai visto un esercizio del genere)
b) allora qui non so come procedere. So che per a=5 il campo non è conservativo quindi non posso usare il potenziale per calcolare il lavoro. inoltre non capisco se la curva è chiusa o no, se si va da A ad A o no. che fare?
Potresti postare come sei giunto al potenziale? Perchè io provando a farlo mi risulta un risultato diverso.
Scusa l'intromissione
"Vicia":
Potresti postare come sei giunto al potenziale? Perchè io provando a farlo mi risulta un risultato diverso.
Scusa l'intromissione
Tip: per verificare il risultato usa la definizione di potenziale controllando se le sue derivate parziali coincidono con le componenti del campo.
Ho ricontrollato i calcoli, sbagliavo un passaggio. Grazie 
"singularity":
Prego! Fammi sapere se ti torna!
stavo provando a farlo solo che il fatto che sia una linea spezzata mi disorienta un po', e soprattutto che sia in 3 dimensioni.
Come dovrei fare? prendere 3 piani uno alla volta parametrizzare le rette che uniscono i due punti (ad esempio nel piano xy prendere la retta che unisce i due punti) e poi fare l'integrale di linea di ognuna e sommare? sono un po' spaesata..
Se puoi mi faresti vedere i passaggi, e soprattutto il ragionamento..?
Non farti disorientare, le linee spezzate sembrano cattive ma non lo sono 
Scherzi a parte, si tratta di parametrizzare segmenti in $RR^3$, in generale un segmento di $RR^n$ di estremi $x_1$ e $x_2$ si può parametrizzare tramite la funzione $ phi : [0,1] rarr RR^n $ , $phi(t) = x_1 + t(x_2 - x_1)$
Scherzi a parte, si tratta di parametrizzare segmenti in $RR^3$, in generale un segmento di $RR^n$ di estremi $x_1$ e $x_2$ si può parametrizzare tramite la funzione $ phi : [0,1] rarr RR^n $ , $phi(t) = x_1 + t(x_2 - x_1)$
"singularity":
Non farti disorientare, le linee spezzate sembrano cattive ma non lo sono
Scherzi a parte, si tratta di parametrizzare segmenti in $RR^3$, in generale un segmento di $RR^n$ di estremi $x_1$ e $x_2$ si può parametrizzare tramite la funzione $ phi : [0,1] rarr RR^n $ , $phi(t) = x_1 + t(x_2 - x_1)$
Se ho capito bene dovrei avere:
$ AB: phi_1 : [0,1] rarr RR^3, phi_1(t)= (2-2t,2t,0) $
$ BC: phi_2: [0,1] rarr RR^3, phi_2(t)= (0,2-2t,2t) $
$CA: phi_3: [0,1] rarr RR^3, phi_3(t)= (2t,0,2-2t) $
ok? e ora? come scelgo l'intervallo in cui varia t? Credo di non aver capito, e per questo non riesco a procedere, cosa significhi esattamente $phi : [0,1] rarr RR^n$.Puoi spiegarmi intuitivamente che significa? e come scegliere gli intervalli?.
una volta capito ciò, faccio i tre integrali di linea e infine li sommo insieme?
gentilissimo comunque grazie
Direi che hai capito tutto. $ phi : [0,1] rarr RR^3$ è semplicemente una notazione per indicare la funzione $phi$ specificando dominio (intervallo $[0,1]$) e il codominio (in questo caso $RR^3$). Scegliere l'intervallo $[0,1]$ come dominio della parametrizzazione è un "trucchetto" per far si che questa funzione "copra" tutto il segmento. Fai caso al fatto che quando $t=0$, cioè il punto iniziale, $phi$ restituisce $x_1$ ovvero il primo estremo, così come quando $t=1$ sei arrivata all'ultimo punto e, infatti, $phi(1)= x_2$. Quindi la parametrizzazione che ti ho scritto sopra vale per tutti i segmenti immaginabili di $RR^n$ e la puoi usare sempre.
Esattamente. Se puoi vuoi fare una raffinatezza, potresti provare a verificare che in questo caso è lecito suddividere l'integrale sulla curva chiusa nelle tre che la compongono (non si può fare sempre!).
E' un piacere
"Stanzi96":
una volta capito ciò, faccio i tre integrali di linea e infine li sommo insieme?
Esattamente. Se puoi vuoi fare una raffinatezza, potresti provare a verificare che in questo caso è lecito suddividere l'integrale sulla curva chiusa nelle tre che la compongono (non si può fare sempre!).
"Stanzi96":
gentilissimo comunque grazie
E' un piacere
"singularity":
Direi che hai capito tutto. $ phi : [0,1] rarr RR^3$ è semplicemente una notazione per indicare la funzione $phi$ specificando dominio (intervallo $[0,1]$) e il codominio (in questo caso $RR^3$). Scegliere l'intervallo $[0,1]$ come dominio della parametrizzazione è un "trucchetto" per far si che questa funzione "copra" tutto il segmento. Fai caso al fatto che quando $t=0$, cioè il punto iniziale, $phi$ restituisce $x_1$ ovvero il primo estremo, così come quando $t=1$ sei arrivata all'ultimo punto e, infatti, $phi(1)= x_2$. Quindi la parametrizzazione che ti ho scritto sopra vale per tutti i segmenti immaginabili di $RR^n$ e la puoi usare sempre.
si ma quindi svolgo i tre integrali definiti sempre nel solo intervallo $[0,1]$ ?
Ma nel caso esisterebbe, anche se qui a questo penso sia fatica sprecata, per parametrizzare la "curva" tutta insieme?
Tu svolgi l'integrale del campo su tre segmenti diversi, ottenendo quindi tre integrali. Dallo svolgimento dei singoli integrali avrai come estremi di integrazione gli estremi dell'intervallo su cui è definita la parametrizzazione, quindi $[0,1]$ in tutti e tre i casi. Non so se sia possibile parametrizzare il triangolo con una sola funzione, ma credo di no. Comunque, essendo una curva regolare a tratti, anche se ci riuscissi, non potresti svolgere l'integrale del campo su di esso.
"singularity":
Tu svolgi l'integrale del campo su tre segmenti diversi, ottenendo quindi tre integrali. Dallo svolgimento dei singoli integrali avrai come estremi di integrazione gli estremi dell'intervallo su cui è definita la parametrizzazione, quindi $[0,1]$ in tutti e tre i casi. Non so se sia possibile parametrizzare il triangolo con una sola funzione, ma credo di no. Comunque, essendo una curva regolare a tratti, anche se ci riuscissi, non potresti svolgere l'integrale del campo su di esso.
Grazie mille, mi torna tutto, e il fatto di averlo capito mi rende più sicura! sei stato formidabile!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo