Esercizio Campo vettoriale
Salve,
sto risolvendo un esercizio sul campo vettoriale che mi richiede di controllare se il campo è conservativo e controllarne il potenziale. Il campo è: $ v(x,y)= 2/(x-y)^2 (-y i + xj) $
Ho calcolato il Rotore e ho visto che è nullo. In seguito ho calcolato il potenziale e mi trovo:
$ U(x,y)= (2y)/(x-y) $
Ora il seguito dell'esercizio mi chiede: Detto $ U_1(x,y) $ il potenziale che nel punto $(1,0)$ è uguale a $1$, determinare il massimo e il minimo in $ A={(x,y)in RR^2 : 1/4 <=x^2 + y^2 <=1, x>=0,y<=0 } $ .
Ho provato a sostituire il punto $(0,1)$ nel potenziale ma non esce $1$
Potete aiutarmi a risolvere questo esercizio?? Grazie.
sto risolvendo un esercizio sul campo vettoriale che mi richiede di controllare se il campo è conservativo e controllarne il potenziale. Il campo è: $ v(x,y)= 2/(x-y)^2 (-y i + xj) $
Ho calcolato il Rotore e ho visto che è nullo. In seguito ho calcolato il potenziale e mi trovo:
$ U(x,y)= (2y)/(x-y) $
Ora il seguito dell'esercizio mi chiede: Detto $ U_1(x,y) $ il potenziale che nel punto $(1,0)$ è uguale a $1$, determinare il massimo e il minimo in $ A={(x,y)in RR^2 : 1/4 <=x^2 + y^2 <=1, x>=0,y<=0 } $ .
Ho provato a sostituire il punto $(0,1)$ nel potenziale ma non esce $1$
Potete aiutarmi a risolvere questo esercizio?? Grazie.
Risposte
Il potenziale è
$U(x,y)=\frac{2y}{x-y}+c$ con $c\in RR$
$U(x,y)=\frac{2y}{x-y}+c$ con $c\in RR$
Come ha detto giustamente ciampax, manca la costante.
Ora si tratta di risolvere un problema di massimi e minimi vincolati in forma di disuguaglianza.
La frontiera dell'insieme è la corona circolare interna alle due circonferenze:
nel primo quadrante.
Calcoli l'Hessiana per vedere se esistono dei punti interni alla frontiera che siano massimi o minimi.
A questo punto ti basta osservare il comportamento sulla frontiera stessa considerando separatamente le quattro restrizioni:
Ora si tratta di risolvere un problema di massimi e minimi vincolati in forma di disuguaglianza.
La frontiera dell'insieme è la corona circolare interna alle due circonferenze:
$x^2+y^2=1/4$, $x^2+y^2=1$,
nel primo quadrante.
Calcoli l'Hessiana per vedere se esistono dei punti interni alla frontiera che siano massimi o minimi.
A questo punto ti basta osservare il comportamento sulla frontiera stessa considerando separatamente le quattro restrizioni:
$\gamma_1:\{(x=1/2cos\theta),(y=1/2sin\theta):},$ $\theta \in [0,\pi/2]$
$\gamma_2:\{(x=cos\theta),(y=sin\theta):},$ $\theta \in [0,\pi/2]$
$\gamma_3:\{(x=0),(y=t):}, t \in [1/2,1]$
$\gamma_4:{(x=t),(y=0):}, t \in [1/2,1]$
E quindi il potenziale è $ U_1(x,y)= (2y)/(x-y) + 1 $ ??? E dopo bisogna calcolare i massimi e minimi di questa funzione $U_1$ normalmente sul dominio $A$ giusto??
Si, direi di si.
"Demostene92":
Si, direi di si.
okkk grazie
E' corretto che non ci sono punti di massimo o di minimo in quel dominio? Ne all'interno che sulla frontiera??
A occhio e croce direi di sì, cioè non ha massimi e minimi in quel dominio nè sulla frontiera.
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