Esercizio campo di forze
Dato il campo di forze
$F(x,y)=((2x)/(x^2+y^2)+1/x^2;(2y)/(x^2+y^2)+1/y^2)$
nell'insieme $A={(x,y)inRR^2:x>0,y>0}$
1)verificare che è conservativo
2)determinare un potenziale
3)calcolare il lavoro compiuto da $F$ per spostare una particella puntiforme lungo l'arco di iperbole $y=1/x$ dal punto $(1,1)$ al punto $(10,1/10)$
allora io avevo pensato di trattare tutto come un forma differenziale ponendo
$w=(2x)/(x^2+y^2)+1/x^2dx +(2y)/(x^2+y^2)+1/y^2dy$
per il punto uno siccome sto nel primo quadrante che è un insieme connesso mi basta verifiacre che lo forma differenziale sia chiusa e di conseguenza sarà esatta.
$Xy=(-2(xy))/(x^2+y^2)^2=Yx$
per il punto due mi calcolo una primitiva che tralasciando i calcoli mi viene $F(x,y)=ln|x^2+y^2|-1/x+1/y+c$
per il punto 3 invece avevo pensato di applicare un determinato teorema secondo cui il lavoro compiuto se è conservativo non dipende dal percorso ma solo dal punto finale e iniziale
e dunque il lavoro esteso alla curva $gamma$ mi viene uguale $W=F(10,1/10)-F(1,1)$
possibile come cosa o c'è qualcosa di sbagliato?
$F(x,y)=((2x)/(x^2+y^2)+1/x^2;(2y)/(x^2+y^2)+1/y^2)$
nell'insieme $A={(x,y)inRR^2:x>0,y>0}$
1)verificare che è conservativo
2)determinare un potenziale
3)calcolare il lavoro compiuto da $F$ per spostare una particella puntiforme lungo l'arco di iperbole $y=1/x$ dal punto $(1,1)$ al punto $(10,1/10)$
allora io avevo pensato di trattare tutto come un forma differenziale ponendo
$w=(2x)/(x^2+y^2)+1/x^2dx +(2y)/(x^2+y^2)+1/y^2dy$
per il punto uno siccome sto nel primo quadrante che è un insieme connesso mi basta verifiacre che lo forma differenziale sia chiusa e di conseguenza sarà esatta.
$Xy=(-2(xy))/(x^2+y^2)^2=Yx$
per il punto due mi calcolo una primitiva che tralasciando i calcoli mi viene $F(x,y)=ln|x^2+y^2|-1/x+1/y+c$
per il punto 3 invece avevo pensato di applicare un determinato teorema secondo cui il lavoro compiuto se è conservativo non dipende dal percorso ma solo dal punto finale e iniziale
e dunque il lavoro esteso alla curva $gamma$ mi viene uguale $W=F(10,1/10)-F(1,1)$
possibile come cosa o c'è qualcosa di sbagliato?
Risposte
nessuno?
Ciao!
Nella definizione della forma metterei giusto due parentesi perché ci sono due termini spaiati
Ad ogni modo non ti interessa che l’insieme sia connesso ma che sia semplicemente connesso; lo è?
Il potenziale ad occhio mi sembra che necessiti solo la modifica di $-1/y$ anziché $+1/y$
Il teorema che intendi per il calcolo del lavoro è una semplice conseguenza del teorema fondamentale del calcolo che ti permette di dire che il lavoro di un campo lungo un cammino dipende solo dagli estremi quindi l’idea è corretta.
Nella definizione della forma metterei giusto due parentesi perché ci sono due termini spaiati
Ad ogni modo non ti interessa che l’insieme sia connesso ma che sia semplicemente connesso; lo è?
Il potenziale ad occhio mi sembra che necessiti solo la modifica di $-1/y$ anziché $+1/y$
Il teorema che intendi per il calcolo del lavoro è una semplice conseguenza del teorema fondamentale del calcolo che ti permette di dire che il lavoro di un campo lungo un cammino dipende solo dagli estremi quindi l’idea è corretta.
Ciao lepre561,
Oltre a quello che ti ha scritto giustamente anto_zoolander, onestamente per ovvi motivi non chiamerei il potenziale con lo stesso nome $F $ che hai usato per il campo di forze...
$U(x,y) = ln(x^2 + y^2) - 1/x - 1/y + c $
Il modulo nell'argomento del logaritmo non serve, perché siamo piuttosto sicuri che $x^2 + y^2 > 0 $ in $A $
Oltre a quello che ti ha scritto giustamente anto_zoolander, onestamente per ovvi motivi non chiamerei il potenziale con lo stesso nome $F $ che hai usato per il campo di forze...
$U(x,y) = ln(x^2 + y^2) - 1/x - 1/y + c $
Il modulo nell'argomento del logaritmo non serve, perché siamo piuttosto sicuri che $x^2 + y^2 > 0 $ in $A $
"lepre561":
è un insieme connesso mi basta verifiacre che lo forma differenziale sia chiusa e di conseguenza sarà esatta.
E dalle. Non basta che sia connesso, deve essere SEMPLICEMENTE connesso.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8417791
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