Esercizio campo conservativo
Ciao a tutti
dovendo verificare che il campo $ F(x;y;z)= ((4x)/(x^2+y^2+sqrt(z)) ; (32y^3)/(x^2+4y^2+sqrt(z)) ; 1/(sqrt(z)(x^2+4y^2+sqrt(z)))) $ sia conservativo ed eventualmente calcolare il potenziale ho trovato che il campo è irrotazionale. Ora ho il dubbio se il dominio che sto considerando $ D={(x;y;z) in RR^3 : (x;y;z)!=(0;0;0) ;z>=0} $ è semplicemente connesso ,quindi in sostanza ho verificato che il campo è conservativo, oppure non lo è, quindi deve calcolare la circuitazione su una curva chiusa e verificare che sia nulla.
dovendo verificare che il campo $ F(x;y;z)= ((4x)/(x^2+y^2+sqrt(z)) ; (32y^3)/(x^2+4y^2+sqrt(z)) ; 1/(sqrt(z)(x^2+4y^2+sqrt(z)))) $ sia conservativo ed eventualmente calcolare il potenziale ho trovato che il campo è irrotazionale. Ora ho il dubbio se il dominio che sto considerando $ D={(x;y;z) in RR^3 : (x;y;z)!=(0;0;0) ;z>=0} $ è semplicemente connesso ,quindi in sostanza ho verificato che il campo è conservativo, oppure non lo è, quindi deve calcolare la circuitazione su una curva chiusa e verificare che sia nulla.
Risposte
Ciao e grazie per la risposta.
Ho ricontrollato il campo e a me continua a venire il rotore uguale a zero (può essere che continuo a fare lo stesso errore senza accorgermene). In ogni caso il mio dubbio è se un dominio come quelllo che ho scritto sia oppure no semplicemente connesso.
Ho ricontrollato il campo e a me continua a venire il rotore uguale a zero (può essere che continuo a fare lo stesso errore senza accorgermene). In ogni caso il mio dubbio è se un dominio come quelllo che ho scritto sia oppure no semplicemente connesso.
Grazie mille.
Per quanto riguarda il rotore a me viene, applicando $ ((vec i , vec j, vec k) , (delx, dely ,delz) ,(F_1, F_2, F_3)) $, $ ((-16y^3)/(sqrt(z)(x^2+4y^2+sqrt(z))^2)+(16y^3)/(sqrt(z)(x^2+4y^2+sqrt(z))^2)) vec i $ ; $ ((-2x)/(sqrt(z)(x^2+4y^4+sqrt(z))^2)+(2x)/(sqrt(z)(x^2+4y^4+sqrt(z))^2)) vec j $ ; $((-64y^3x)/(x^2+4y^2+sqrt(z))+(64xy^3)/(x^2+4y^2+sqrt(z))) vec k $ quindi $ rot vecF=(0 ;0 ;0) $. Un ultimo chiarimento sul dominio:partendo dal fatto che $ RR^3 $ meno un punto è semplicemente connesso (è così giusto?) nel mio caso il mio dominio non è sempiicemente connesso perchè ho in più la condizione $ z>=0 $?
Per quanto riguarda il rotore a me viene, applicando $ ((vec i , vec j, vec k) , (delx, dely ,delz) ,(F_1, F_2, F_3)) $, $ ((-16y^3)/(sqrt(z)(x^2+4y^2+sqrt(z))^2)+(16y^3)/(sqrt(z)(x^2+4y^2+sqrt(z))^2)) vec i $ ; $ ((-2x)/(sqrt(z)(x^2+4y^4+sqrt(z))^2)+(2x)/(sqrt(z)(x^2+4y^4+sqrt(z))^2)) vec j $ ; $((-64y^3x)/(x^2+4y^2+sqrt(z))+(64xy^3)/(x^2+4y^2+sqrt(z))) vec k $ quindi $ rot vecF=(0 ;0 ;0) $. Un ultimo chiarimento sul dominio:partendo dal fatto che $ RR^3 $ meno un punto è semplicemente connesso (è così giusto?) nel mio caso il mio dominio non è sempiicemente connesso perchè ho in più la condizione $ z>=0 $?
Grazie per la pazienza. Mi scuso perchè solo ora mi sono accorto che in realtà avevo sbagliato a scrivere il testo del campo in quanto le varie $ y^2 $ erano in realtà $ y^4 $ ed inoltre nel denominatore alla prima componente ho mancato il $ 4 $ davanti alla $ y $. Per quanto riguarda il dominio sei stato chiarissimo, garzie ancora 
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