Esercizio calcolo punti estremanti di una funzione

[fabiofrutti94]

Salve a tutti,
volevo chiedervi gentilmente un piccolo aiutino con questo esercizio: data la funzione
$ f(x,y,z)= z(x^2+y^2)+2xy$ bisogna calcolare i punti estremanti e descriverne la natura.
Io riesco a calcolare i punti critici, ma dal fatto che la matrice Hessiana risulta semidefinita, non riesco a descrivere la natura di questi punti.

[singularity]

In prima battuta potresti andare un po "a tentoni", per esempio valutando il valore di $f$ in quei punti,

[fabiofrutti94]

Se non ho errato i conti i punti critici sono tutti e solo quelli del tipo $(0,0,k) | k \in \mathbb(R)$ e $f(0,0,k)=0 \forall k$. Ho provato a studiare il problema con il metodo del segno osservando che la funzione quando $k\geq 1$ , si ha $z(x^2+y^2)+2xy \geq (x^2+y^2)+2xy= (x+y)^2 \geq 0$ . Quindi dedurrei che questi punti sono di minimo perché posso trovare un intorno in cui la funzione è positiva.
Invece se $k\leq 1$ ottengo, $z(x^2+y^2)+2xy \leq -(x^2+y^2)+2xy= -(x-y)^2 \leq 0$ Quindi i punti per $k\leq 1$ sarebbero di minimo. Se il ragionamento è corretto comunque non saprei dire altro per $-1

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