Esercizio calcolo limite

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26 mar 2016, 20:34

Ciao ragazzi,
ho il seguente limite notevole (di x che tende a +infinito): $lim (1-2/x)^x$
Attraverso una serie di calcoli, che non sono sicura al 100% siano giusti, arrivo ad ottenere $lim(1+1/(2x))^x$ , sempre di x che tende a +infinito. Da qui utilizzo il limite notevole di Nepero e ottengo come risultato $e^(1/2)$, o radice quadrata di e.

Il problema è che... nel libro di esercizi svolti che ho, a parte che seguono un procedimento diverso (ma questo so che non necessariamente è un problema), danno come risultato: $lim[(1+1/t)^t]^(-2)$ , limite di t --> - infinito !!, $=1/e^2$
La $t$ deriva dalla sostituzione con $-x/2$ (trovato riscrivendo la frazione come una "frazione di frazione"), ma perchè l'infinito cambia di segno?!

Il procedimento e il risultato che ho trovato io, non va bene? Non so, magari io non ho cambiato segno all'infinito e quindi il risultato è lo stesso... non saprei!

Grazie e buona Pasqua! Io sto qui a studiare e quindi rompere le scatole a voi anche quando è festa

Risposte

anto_zoolander

26 mar 2016, 21:03

$lim_(x->+infty)(1-2/x)^x$

Basta imporre $-2/x=1/y <=> -x/2=y <=> x= -2y$

e notare che se $x->+infty$ allora $y->-infty$

$lim_(y->-infty)(1+1/y)^(-2y)$

$lim_(y->-infty)[(1+1/y)^y]^(-2)$

Questa essendo un esponenziale, la base deve essere tale che sia positiva.

Notiamo che in un intorno di $-infty$ questa condizione è sempre soddisfatta, quindi i due limiti sono equivalenti.
Non lo sono solo per $-1
$lim_(y->-infty)[(1+1/y)^y]^(-2) = e^(-2)$

Il risultato che hai trovato non va bene perché se eguagli le due quantità non sono uguali.

$(1-2/x)^xne(1+1/(2x))^x$

Per seconda cosa, il fatto dell'infinito che viene negativo, è per questo motivo:

$y=-x/2$ calcoliamo il limite per $x->+infty$

$lim_(x->+infty)-x/2 = [ -(+infty)/2] = -infty$

Quindi se $x->+infty$ allora $y->-infty$