Esercizio Calcolo integrale

[informatica333]

Salve a tutti,

sono bloccato con questo esercizio :

intergrale di : cos(nx) cos(x/2)

Come posso impostarlo?

Grazie a tutti?

[Bremen000]

Dovrebbe essere uno di quegli integrali che si risolve facendolo per parti due o tre volte riottenendo l'integrale di partenza... Hai provato a fare così?

[andar9896]

Se devi trovare le primitive ti conviene usare le formule di Werner.

[Bremen000]

Integrando due volte per parti:

$ \int(\cos(nx)\cos(\frac{x}{2}))dx = \frac{\sin(nx)}{n}\cos(\frac{x}{2}) + \int(\frac{\sin(nx)}{n}\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2}))dx = \frac{\sin(nx)}{n}\cos(\frac{x}{2}) +\frac{1}{2n}[\frac{-\cos(nx)}{n}\sin(\frac{x}{2})+\int(\frac{\cos(nx)}{n}\frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2}))dx] = \frac{\sin(nx)}{n}\cos(\frac{x}{2}) -\frac{1}{2n^2}\cos(nx)\sin(\frac{x}{2}) + \frac{1}{4n^2}\int(\cos(nx)\cos(\frac{x}{2}))dx $

Da cui:

$
(1-\frac{1}{4n^2})\int(\cos(nx)\cos(\frac{x}{2}))dx = \frac{\sin(nx)}{n}\cos(\frac{x}{2}) -\frac{1}{2n^2}\cos(nx)\sin(\frac{x}{2})
$

e quindi:

$
\int(\cos(nx)\cos(\frac{x}{2}))dx = \frac{4n\sin(nx)\cos(\frac{x}{2})-2\cos(nx)\sin(\frac{x}{2})} {4n^2-1}
$

{Oddio è vero Werner! Ormai ero partito così }

[informatica333]

In effetti mi ero bloccato dopo troppe iterazioni.

Werner? non lo conosco. Vado a cercare.

Grazie a tutti

[andar9896]

Anche io lo dimentico spesso comunque con Werner, sapendo che $cosalpha cosbeta = 1/2 [cos(alpha + beta) + cos (alpha - beta)]$, si arriva a
$1/2 int cos((2n+1)/2x) dx + 1/2 int cos((2n-1)/2x)dx =
sin(nx+x/2)/(2n+1) + sin(nx-x/2)/(2n-1) + c$ che oggettivamente è un po' bruttino