Esercizio calcolo di un limite

[simox2]

Ciao a tutti,

Sto svolgendo il seguente esercizio:

\(\displaystyle
\lim_{x \to 3} \,f(x) = \lim_{x \to 3} \, {\sqrt{x + 1} -2 \over x -3}
\)

Procedo cosi con la semplificazione di \(\displaystyle f(x) \):

\(\displaystyle
\begin{aligned}
& {(\sqrt{x + 1} -2)(\sqrt{x + 1} +2) \over (x -3)(\sqrt{x + 1} +2)} = \\
& {x + 1 + 2\sqrt{x + 1} - 2\sqrt{x + 1} -4 \over x\sqrt{x + 1} + 2x -3\sqrt{x + 1} -6} = \\
& {(x -3) \over (x-3)\sqrt{x + 1} +2x -6} = \\
& {1 \over \sqrt{x + 1} +2x -6}
\end{aligned}
\)

E valutando l'ultima espressione per \(\displaystyle x = 3 \) il risultato che ottengo è \(\displaystyle 1 \over 2 \), mentre il risultato dato dal testo è \(\displaystyle 1 \over 4 \).

Non capisco dove sto sbagliando.
Qualcuno mi può aiutare a capire ?

Grazie in anticipo.

[simox2]

Mi viene da pensare che dovrei elevare al quadrato numeratore e denominatore

In questo caso è chiaro che

\( \displaystyle
\left ( {1 \over \sqrt{x + 1} +2x -6} \right ) ^2 = {1 \over 4}
\)

Ma non mi è chiaro perché sia necessario eliminare la radice..

[E-3131]

$ lim_(x ->3) (sqrt(x+1)-2)/(x-3)=lim_(x ->3) ((sqrt(x+1)-2)*(sqrt(x+1)+2))/((x-3)(sqrt(x+1)+2)) = lim_(x ->3) (x-3)/((x-3)(sqrt(x+1)+2))= lim_(x ->3) 1/(sqrt(x+1)+2) =1/4$

[simox2]

Già, che cozza che sono.

Grazie E-313

[kobeilprofeta]

Credo che con De l'Hospital sarebbe venuto easy easy.