Esercizio calcolo derivata n-esima
Ciao a tutti,
chi mi da una mano a risolvere questo esercizio?
Definire la serie di Taylor centrata in x = 0 di una funzione f(x). Quindi calcolare la derivata sesta di f(x) in x = 0 sapendo che:
$ f(x)=sum_(n = 0)x^n/(n+2) $
Nessun problema ovviamente per quanto riguarda la formula per la serie di Taylor centrata in zero, ma come posso calcolare la derivata sesta della funzione?
La mia idea era quella di ricavare la somma della sommatoria, svilupparne poi il polinomio di Tayolor di ordine 6, e quindi il coefficiente del termine di grado 6 del polinomio dovrebbe essere il valore della derivata in 0.
Oltretutto la serie credo sia divergente, devo quindi calcolarne il resto giusto?
Il problema è che non riesco a ricondurre la serie a nessuna serie nota..
Mi scuso anticipo nel caso in cui avessi detto qualche cavolata
Grazie
chi mi da una mano a risolvere questo esercizio?
Definire la serie di Taylor centrata in x = 0 di una funzione f(x). Quindi calcolare la derivata sesta di f(x) in x = 0 sapendo che:
$ f(x)=sum_(n = 0)x^n/(n+2) $
Nessun problema ovviamente per quanto riguarda la formula per la serie di Taylor centrata in zero, ma come posso calcolare la derivata sesta della funzione?
La mia idea era quella di ricavare la somma della sommatoria, svilupparne poi il polinomio di Tayolor di ordine 6, e quindi il coefficiente del termine di grado 6 del polinomio dovrebbe essere il valore della derivata in 0.
Oltretutto la serie credo sia divergente, devo quindi calcolarne il resto giusto?
Il problema è che non riesco a ricondurre la serie a nessuna serie nota..
Mi scuso anticipo nel caso in cui avessi detto qualche cavolata

Grazie
Risposte
Benvenuto! Una scrittura di tipo $ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n $ ha senso solamente se la serie converge e, in tal caso, all'interno del raggio di convergenza, una scrittura di questo tipo coincide con la scrittura dello sviluppo di Taylor, cioè $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$.
Per verificare che la serie converga è semplice adottare il criterio per cui condizione sufficiente affinché la serie converga nella palla aperta \(B(x_0,R)\) è che $\lim_{n}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=R,0\leq R\leq\infty$: hai che $|\frac{(n+1)+2}{n+2}|\to 1$, perciò $R=1$ e quindi la serie converge in \((-1,1)\), dove in 0 ha derivata $n$-esima $f^{(n)}(0)=\frac{n!}{n+2}$.
Ciao!
Per verificare che la serie converga è semplice adottare il criterio per cui condizione sufficiente affinché la serie converga nella palla aperta \(B(x_0,R)\) è che $\lim_{n}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=R,0\leq R\leq\infty$: hai che $|\frac{(n+1)+2}{n+2}|\to 1$, perciò $R=1$ e quindi la serie converge in \((-1,1)\), dove in 0 ha derivata $n$-esima $f^{(n)}(0)=\frac{n!}{n+2}$.
Ciao!