Esercizio base sui numeri complessi

[banabinomio]

Salve a tutti, avrei soltanto una piccola precisazione da chiedervi sulla soluzione di questa equazione nel campo complesso:
$ z^4+2z^2+4=0 $
Applico la "regola del topo" (una sostituzione) :
$ t=z^2 $ e quindi quando dovrò valutare z : $ z=+- radq(t^2) $ tuttavia nella soluzione proposta viene considerato solo il valore col segno + ossia $ z=+radq(t^2) $ e quindi qui mi sorge un dubbio. Quando è lecito scartare i valori col segno meno ( o comunque sapere se sono compresi nella soluzione col segno più).
Cordiali saluti

[pilloeffe]

Ciao banabinomio,


L'equazione proposta si può scrivere nella forma $(z^2 + 1)^2 = - 3 $ e pertanto le $4$ soluzioni complesse sono le seguenti:

$z_{1,2} = \pm \sqrt{- 1 - i \sqrt3} $

$z_{3,4} = \pm \sqrt{- 1 +i \sqrt3} $

con ovvio significato dei simboli.

[banabinomio]

Grazie mille per la risposta, è stato imbarazzante non accorgermi subito che quello era un banalissimo quadrato di binomio, tuttavia mi stupisce che nemmeno nella soluzione di questi esercizi era proposta come soluzione ma anzi si complica inutilmente i calcoli con la formula di risoluzione delle equazione di secondo grado. Mah... Questione risolta

Cordiali saluti

[pilloeffe]

"banabinomio":Grazie mille per la risposta

Prego.

"banabinomio":tuttavia mi stupisce che nemmeno nella soluzione di questi esercizi era proposta come soluzione ma anzi si complica inutilmente i calcoli con la formula di risoluzione delle equazione di secondo grado.

Beh, ma ovviamente la si può risolvere anche come hai pensato; infatti, posto $t := z^2 $ l'equazione diventa la seguente:

$t^2 + 2t + 4 = 0 $

Applicando la formula ridotta, quest'ultima ha soluzioni $t_{1,2} = - 1 \pm i sqrt3 $ e quindi, ricordando che si è posto $t := z^2 $, si ritrovano le $4 $ soluzioni già scritte nel mio post precedente.