Esercizio atipico sui numeri complessi
"Assegnato il numero complesso $z=cos(1/2)+isin(1/2)$, calcolare i numeri complessi $ alpha =1/z$ e $beta=z^3+1/z^3$"
Non ho capito cosa intende in questo caso con "calcolare i numeri complessi"
Mi basta sostituire z e l'esercizio risulta essere svolto (?)
Non ho capito cosa intende in questo caso con "calcolare i numeri complessi"
Mi basta sostituire z e l'esercizio risulta essere svolto (?)
Risposte
penso intenda dire che li voglia scritti in forma algebrica (o in una qualche altra forma al massimo). per intenderci comunque non ti basta scrivere $alpha =1/(cos(1/2)+i sin(1/2))$
ti ricordo la "formula" $z^-1 =(barz)/(|z|^2)$
ti ricordo la "formula" $z^-1 =(barz)/(|z|^2)$
Dubbio nel caso beta :
posso moltiplicare e dividere per il complesso coniugato di $ z^3$ solo $1/z^3$ e poi sommare
oppure devo fare $((z^3(z^3)+1)/z^3)*( bar(z^3) / bar(z^3))$ ?
posso moltiplicare e dividere per il complesso coniugato di $ z^3$ solo $1/z^3$ e poi sommare
oppure devo fare $((z^3(z^3)+1)/z^3)*( bar(z^3) / bar(z^3))$ ?
Moltiplicare un numero per uno lo cambia?
Mi spiego meglio.
Nel primo caso avrei :
$(cos(1/2)+isin(1/2))^3+(1/((cos(1/2)+isin(1/2))^3))*((cos(1/2)-isin(1/2))^3/(cos(1/2)-isin(1/2))^3)=(cos(1/2)+isin(1/2))^3+(cos(1/2)-isin(1/2))^3$
Nel secondo caso avrei:
$(((cos(1/2)+isin(1/2))^6+1)/((cos(1/2)+isin(1/2)^3)))*((cos(1/2)-isin(1/2))^3/(cos(1/2)-isin(1/2))^3)=(((cos(1/2)+isin(1/2))^6+1)*((cos(1/2)-isin(1/2))^3))/1$
Nel primo caso avrei :
$(cos(1/2)+isin(1/2))^3+(1/((cos(1/2)+isin(1/2))^3))*((cos(1/2)-isin(1/2))^3/(cos(1/2)-isin(1/2))^3)=(cos(1/2)+isin(1/2))^3+(cos(1/2)-isin(1/2))^3$
Nel secondo caso avrei:
$(((cos(1/2)+isin(1/2))^6+1)/((cos(1/2)+isin(1/2)^3)))*((cos(1/2)-isin(1/2))^3/(cos(1/2)-isin(1/2))^3)=(((cos(1/2)+isin(1/2))^6+1)*((cos(1/2)-isin(1/2))^3))/1$
Rispondi alla mia domanda ...
no,non lo cambia
E allora puoi fare come vuoi ... un modo o l'altro non cambia il risultato però può essere di più facile risoluzione ...
al tuo dubbio sta rispondendo già @axpgn. comunque io mi sarei risparmiato i conti vedendo $1/z^3=(1/z)^3=(barz / |z|^2)^3$
Ciao pepp1995,
Non è che ti stai complicando un po' la vita?
$z = cos(1/2)+isin(1/2) = e^{i/2} $
Una volta calcolato $\alpha = 1/z = z^{-1}$, si ha:
$\beta = z^3 + 1/z^3 = z^3 + \alpha^3 $
"pepp1995":
posso moltiplicare e dividere per il complesso coniugato di $z^3$ solo $ 1/z^3 $ e poi sommare...
Non è che ti stai complicando un po' la vita?
$z = cos(1/2)+isin(1/2) = e^{i/2} $
Una volta calcolato $\alpha = 1/z = z^{-1}$, si ha:
$\beta = z^3 + 1/z^3 = z^3 + \alpha^3 $
sicuramente l'ultimo metodo presentato è il più rapido ma io mi muovevo nella convinzione la soluzione dovesse essere in forma algebrica e non esponenziale.
ma è anche vero che dalla scrittura esponenziale più maneggevole puoi tornare solo all'ultimo passaggio a quella algebrica eventualmente.
ma è anche vero che dalla scrittura esponenziale più maneggevole puoi tornare solo all'ultimo passaggio a quella algebrica eventualmente.
Ciao cooper,
Capisco, ma in realtà sul testo del problema non c'è scritto e secondo me non a caso, perché per la forma algebrica $z = x + iy $ si trovano dei valori numerici di $x$ e di $y$ diciamo un po' "scomodi"...
Infatti...
Io comunque mi fermerei alle forme trigonometriche ed esponenziale:
$\alpha = 1/z = z^{-1} = e^{-i/2} = cos(1/2) - i sin(1/2) $
$\beta = z^3 + 1/z^3 = z^3 + \alpha^3 = e^{3i/2} + e^{- 3i/2} = 2 \cdot frac{e^{3i/2} + e^{- 3i/2}}{2} = 2 cos(3/2) $
"cooper":
ma io mi muovevo nella convinzione la soluzione dovesse essere in forma algebrica e non esponenziale.
Capisco, ma in realtà sul testo del problema non c'è scritto e secondo me non a caso, perché per la forma algebrica $z = x + iy $ si trovano dei valori numerici di $x$ e di $y$ diciamo un po' "scomodi"...
"cooper":
è anche vero che dalla scrittura esponenziale più maneggevole puoi tornare solo all'ultimo passaggio a quella algebrica eventualmente.
Infatti...
Io comunque mi fermerei alle forme trigonometriche ed esponenziale:
$\alpha = 1/z = z^{-1} = e^{-i/2} = cos(1/2) - i sin(1/2) $
$\beta = z^3 + 1/z^3 = z^3 + \alpha^3 = e^{3i/2} + e^{- 3i/2} = 2 \cdot frac{e^{3i/2} + e^{- 3i/2}}{2} = 2 cos(3/2) $
in effetti potrebbe essere fatto per ragionare nel tuo modo. se non altro adesso l'autore ha diverse strade che può percorrere. 
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