Esercizio appello passato analisi 1[Numeri complessi]
Salve come da titolo allo scorso appello di analisi ho avuto un problema con il seguente esercizio.
Risolvere: w=[(z-1)/(z+i)] e rappresentare sul piano di Gauss ciò che soddisfa Re(w)>1.
Io ho provato a risolvere inizialmente l'esercizio moltiplicando num e den per (z-i) senza successo. Ho tentato anche di riscrivere z=a+ib ma anche in questo caso non ho avuto successo.
Il metodo per risolverò secondo voi qual'è? uno dei due che ho provato ad applicare? e in caso riuscissi a riscrivere in qualche modo w=a+ib, come faccio a imporre a>1 e rappresentarlo sul piano di Gauss? e soprattutto è un problema, se sull'asse dei reali i numeri vanno da 1 a -1, imporre Re(w)>1?
(sono a conoscenza che il piano di gauss ha sull'asse delle x i numeri reali e sull'asse delle y i numeri immaginari) Scusate il disturbo, grazie a chi mi aiuterà.
Risolvere: w=[(z-1)/(z+i)] e rappresentare sul piano di Gauss ciò che soddisfa Re(w)>1.
Io ho provato a risolvere inizialmente l'esercizio moltiplicando num e den per (z-i) senza successo. Ho tentato anche di riscrivere z=a+ib ma anche in questo caso non ho avuto successo.
Il metodo per risolverò secondo voi qual'è? uno dei due che ho provato ad applicare? e in caso riuscissi a riscrivere in qualche modo w=a+ib, come faccio a imporre a>1 e rappresentarlo sul piano di Gauss? e soprattutto è un problema, se sull'asse dei reali i numeri vanno da 1 a -1, imporre Re(w)>1?
(sono a conoscenza che il piano di gauss ha sull'asse delle x i numeri reali e sull'asse delle y i numeri immaginari) Scusate il disturbo, grazie a chi mi aiuterà.
Risposte
Eh?
Ho dei problemi con questo esercizio, non sono stato chiaro?
quello che hai scritto non mi sembra un numero complesso ma piuttosto una funzione complessa: la mappa di Moebius. avete per caso definito in qualche modo la parte reale di una funzione complessa?
"Calcolo dell’argomento principale in funzione della parte reale e immaginaria. Rapporto tra numeri
complessi"
questo sta scritto nel corso del professore ma nei suoi appunti non trovo nessun riferimento a questo argomento, probabilmente lo avrà spiegato a lezione e non sono stato presente ):
complessi"
questo sta scritto nel corso del professore ma nei suoi appunti non trovo nessun riferimento a questo argomento, probabilmente lo avrà spiegato a lezione e non sono stato presente ):
Ciao er mate
mi piacerebbe ragionare un po' con te e vedere dove andiamo a parare
lets' begin
il rapporto tra due numeri complessi è un numero complesso, giusto?
quindi ha una parte reale e una immaginaria
lo stesso numero complesso $z$ può essere scritto in varie forme: algebrica, esponenziale, trigonometrica. Quale potrebbe essere più conveniente nel nostro caso?
mi piacerebbe ragionare un po' con te e vedere dove andiamo a parare
lets' begin
il rapporto tra due numeri complessi è un numero complesso, giusto?
quindi ha una parte reale e una immaginaria
lo stesso numero complesso $z$ può essere scritto in varie forme: algebrica, esponenziale, trigonometrica. Quale potrebbe essere più conveniente nel nostro caso?
Direi algebrica perchè riusciamo a determinarci a e b e il modulo in modo tale da determinarci poi il seno e il coseno. Però sono in dubbio con la trigonometrica, ma non ho idea di come possiamo passare direttamente a questa forma. ):
come detto nel mio post precedente w non è un numero complesso, ma una funzione. ciò che è numero complesso mi sembra essere z, che quindi possiamo supporre essere della forma $z=a+ib$. sostituendolo nell'espressione di w otteniamo
$w=((a+1)+ib)/(a+(b-1)i)$. ora puoi esprimere w in forma algebrica e risolvere la disequazione
$w=((a+1)+ib)/(a+(b-1)i)$. ora puoi esprimere w in forma algebrica e risolvere la disequazione
"cooper":
come detto nel mio post precedente w non è un numero complesso, ma una funzione.
d'accordo ma sei io sostituisco $z$ con un numero complesso qualsiasi, la mia funzione $w$ mi restituisce un numero complesso $w(z)$, corretto?
otteniamo un numero complesso w generico, espresso in termini della parte reale ed immaginarie di z, così da ottenere veramente un numero complesso, esprimibile in una della forme conosciute. in pratica otteniamo un $w(a,b)$ con $(a,b) != (0,-1)$
Grazie mille per la disponibilità di tutti. Allora riprovando a sostituire z=(a+ib) a me viene:
$w=\frac{a+ib-1}{a+(b+1)i}$.
[Ho imparato ora a scrivere le formule sul forum e se non fosse chiaro $w=\frac{z-1}{z+i}$. questo è il testo dell'esercizio, magari sbaglio io a svilupparlo!].
Svolgendo i conti alla fine mi viene:
$w=\frac{a+bi-1}{a+bi+i}$.
è giusto così? e in caso come faccio a divide parte reale da parte immaginare per pore Re(w)>1 ?
Grazie ancora.
$w=\frac{a+ib-1}{a+(b+1)i}$.
[Ho imparato ora a scrivere le formule sul forum e se non fosse chiaro $w=\frac{z-1}{z+i}$. questo è il testo dell'esercizio, magari sbaglio io a svilupparlo!].
Svolgendo i conti alla fine mi viene:
$w=\frac{a+bi-1}{a+bi+i}$.
è giusto così? e in caso come faccio a divide parte reale da parte immaginare per pore Re(w)>1 ?
Grazie ancora.
ciò a cui arrivi è corretto, sono fesso io che ho invertito i segni nel scrivere il risultato 
arrivati a quella scrittura puoi riportarti alla forma algebrica nella maniera che volevi usare ad inizio post: moltiplichi w per $a-(b+1)$ (razionalizzi per far sparire la i a denominatore). svolgendo i calcoli dovresti ottenere qualcosa del tipo $w=x+iy$
dopo imponi $\text{Re}(w)=x>1$ e vedi cosa esce
arrivati a quella scrittura puoi riportarti alla forma algebrica nella maniera che volevi usare ad inizio post: moltiplichi w per $a-(b+1)$ (razionalizzi per far sparire la i a denominatore). svolgendo i calcoli dovresti ottenere qualcosa del tipo $w=x+iy$
dopo imponi $\text{Re}(w)=x>1$ e vedi cosa esce
Allora ho svolto i conti e alla fine mi esce fuori:
$w=\frac{a^(2)+2b-a-b^(2)i-ai+i}{a^(2)+b^(2)+2b+1}$
Che ho separato in questo modo:
$w=\frac{a^(2)+2b-a}{a^(2)+b^(2)+2b+1}+\frac{-b^(2)i-ai+i}{a^(2)+b^(2)+2b+1}$.
Se è giusto, come dovrei risolvere?:
$\frac{a^(2)+2b-a}{a^(2)+b^(2)+2b+1}>1$.
Così la devo impostare? Grazie ancora
$w=\frac{a^(2)+2b-a-b^(2)i-ai+i}{a^(2)+b^(2)+2b+1}$
Che ho separato in questo modo:
$w=\frac{a^(2)+2b-a}{a^(2)+b^(2)+2b+1}+\frac{-b^(2)i-ai+i}{a^(2)+b^(2)+2b+1}$.
Se è giusto, come dovrei risolvere?:
$\frac{a^(2)+2b-a}{a^(2)+b^(2)+2b+1}>1$.
Così la devo impostare? Grazie ancora
svolgendo i calcoli di quello che hai trovato mi trovo con $(a+b^2 +1)/(a^2+b^2+2b+1)<0$
ora, l'equazione associata è una parabola con direttrice parallela ad x (è messa in orizzontale), ha vertice in $(a,b)=(-1,0)$, distanza focale $p=-1/4 <0$ così che è aperta verso sinistra. dunque mi sembra che rappresenti, nel piano complesso tutti i punti esterni a questa parabola
ora, l'equazione associata è una parabola con direttrice parallela ad x (è messa in orizzontale), ha vertice in $(a,b)=(-1,0)$, distanza focale $p=-1/4 <0$ così che è aperta verso sinistra. dunque mi sembra che rappresenti, nel piano complesso tutti i punti esterni a questa parabola
Grazie ancora per la disponibilità, oggi ho fatto da capo tutti i conti (ora controllati più e più volte sperando di non essermi sbagliato...) e mi viene fuori:
$w=\frac{a^(2)-ai+b^(2)+b-a+bi+i}{a^(2)+b^(2)+2b+1}$
Quindi dividendo parte reale da immaginaria arrivo alla seguente disuguaglianza:
$\frac{a^(2)+b^(2)-a+b}{a^(2)+b^(2)+2b+1}>1$ che ho pensato di riordinare in questo modo: $\frac{a*(a-1)+b*(b+1)}{a^(2)+b^(2)+2b+1}$
Il vero problema adesso è che non so come risolvere la disequazione e come rappresentarlo sul piano di guass...
Per rappresentarlo sul piano di Gauss devo calcolarmi il modulo?
Scusate il disturbo ma questo esercizio mi sta facendo impazzire e vorrei riuscire a capirlo
$w=\frac{a^(2)-ai+b^(2)+b-a+bi+i}{a^(2)+b^(2)+2b+1}$
Quindi dividendo parte reale da immaginaria arrivo alla seguente disuguaglianza:
$\frac{a^(2)+b^(2)-a+b}{a^(2)+b^(2)+2b+1}>1$ che ho pensato di riordinare in questo modo: $\frac{a*(a-1)+b*(b+1)}{a^(2)+b^(2)+2b+1}$
Il vero problema adesso è che non so come risolvere la disequazione e come rappresentarlo sul piano di guass...
Per rappresentarlo sul piano di Gauss devo calcolarmi il modulo?
Scusate il disturbo ma questo esercizio mi sta facendo impazzire e vorrei riuscire a capirlo
per scrupolo ho controllato i conti ed esce anche a me come a te (scusa se non l'ho fatto prima). otteniamo quindi la disequazione
ora notiamo che il denominatore può essere riscritto come $a^2+(b+1)^2$ che quindi risulta sempre positivo e si annulla solo per $(a,b)=(0,-1)=-i$ che però è escluso dal dominio di w. quindi possiamo togliere il denominatore senza dover cambiare verso alla disequazione, rimanendo dunque con $a+b+1<0$ la cui equazione è quella di una retta e poichè chiede <0 dobbiamo prendere la porzione di piano sotto questa retta.
$(a^2+b^2+b-a)/(a^2+b^2+2b+1)>1 rArr (a^2+b^2+b-a)/(a^2+b^2+2b+1)-1>0 rArr (b+a+1)/(a^2+b^2+2b+1)<0$
ora notiamo che il denominatore può essere riscritto come $a^2+(b+1)^2$ che quindi risulta sempre positivo e si annulla solo per $(a,b)=(0,-1)=-i$ che però è escluso dal dominio di w. quindi possiamo togliere il denominatore senza dover cambiare verso alla disequazione, rimanendo dunque con $a+b+1<0$ la cui equazione è quella di una retta e poichè chiede <0 dobbiamo prendere la porzione di piano sotto questa retta.
Grazie mille per la disponibilità, per rappresentare la retta sul piano di Gauss basta porre a=x b=y e mettere al posto degli assi x e y gli assi R e Im? Risolto questo dubbio ho compreso tutto l'esercizio, sei stato gentilissimo grazie ancora
il piano complesso immaginalo come il tuo $RR^2$ classico. si tratta di disegnare una retta come esercizio di geometria analitica.
un po' contorto ma corretto.
figurati
"erMate98":
basta porre a=x b=y e mettere al posto degli assi x e y gli assi R e Im
un po' contorto ma corretto.
"erMate98":
sei stato gentilissimo grazie ancora
figurati
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo