[Esercizio] Antitrasformata di Laplace
Salve a tutti, vi posto il seguente esercizio, con il quale ho qualche problema:
$f(s)=slog[(s+1)/(s+2)] $. Il risultato del mio libro è $F(t)= [ e^(-t)(1+t)-e^(-2t)-2te^(-2t)-2t^2 ]/(2t^2) $ mentre io non mi trovo ( anche se " per poco " ). Il mio svoglimento:
[tex]\mathscr{L}^{-1}slog\frac{(s+1)}{(s+2)}=\frac{d}{dt} \mathscr{L}^{-1} {log\frac{(s+1)}{(s+2)}} + \mathscr{L}^{-1} {log\frac{(s+1)}{(s+2)}} (0^+) \delta(t)[/tex].
[tex]\frac{d}{dt} \mathscr{L}^{-1} {log\frac{(s+1)}{(s+2)}}=\frac{d}{dt} \mathscr{L}^{-1}[/tex] $ int_s^(+oo) 1/(x+2) -1/(x+1) dx = $ [tex]\frac{d}{dt} \frac{1}{t} \mathscr{L}^{-1} \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+1} =[/tex] [tex]\frac{d}{dt} \frac{e^{-2t}-e^{-t}}{t}= \frac{e^{-t}(t+1)-e^{-2t}(1+2t)}{t^2}[/tex]. Inoltre $lim_{t-> 0}$[tex]\frac{e^{-t}(t+1)-e^{-2t}(1+2t)}{t^2} = 1[/tex] ( ho risolto con De l'Hospital ).
In definitiva, secondo i miei conti : [tex]\mathscr{L}^{-1}slog\frac{(s+1)}{(s+2)}= \frac{e^{-t}(t+1)-e^{-2t}(1+2t)}{t^2} + \delta ( t)[/tex]. A questo punto dovrei non considerare il contributo $\delta(t)$ visto che il libro chiede la soluzione per $t>0 $.
Spero davvero che qualcuno mi illumini data la fatica che ho fatto per scrivere tutto in codice! ( non sono pratico )
$f(s)=slog[(s+1)/(s+2)] $. Il risultato del mio libro è $F(t)= [ e^(-t)(1+t)-e^(-2t)-2te^(-2t)-2t^2 ]/(2t^2) $ mentre io non mi trovo ( anche se " per poco " ). Il mio svoglimento:
[tex]\mathscr{L}^{-1}slog\frac{(s+1)}{(s+2)}=\frac{d}{dt} \mathscr{L}^{-1} {log\frac{(s+1)}{(s+2)}} + \mathscr{L}^{-1} {log\frac{(s+1)}{(s+2)}} (0^+) \delta(t)[/tex].
[tex]\frac{d}{dt} \mathscr{L}^{-1} {log\frac{(s+1)}{(s+2)}}=\frac{d}{dt} \mathscr{L}^{-1}[/tex] $ int_s^(+oo) 1/(x+2) -1/(x+1) dx = $ [tex]\frac{d}{dt} \frac{1}{t} \mathscr{L}^{-1} \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+1} =[/tex] [tex]\frac{d}{dt} \frac{e^{-2t}-e^{-t}}{t}= \frac{e^{-t}(t+1)-e^{-2t}(1+2t)}{t^2}[/tex]. Inoltre $lim_{t-> 0}$[tex]\frac{e^{-t}(t+1)-e^{-2t}(1+2t)}{t^2} = 1[/tex] ( ho risolto con De l'Hospital ).
In definitiva, secondo i miei conti : [tex]\mathscr{L}^{-1}slog\frac{(s+1)}{(s+2)}= \frac{e^{-t}(t+1)-e^{-2t}(1+2t)}{t^2} + \delta ( t)[/tex]. A questo punto dovrei non considerare il contributo $\delta(t)$ visto che il libro chiede la soluzione per $t>0 $.
Spero davvero che qualcuno mi illumini data la fatica che ho fatto per scrivere tutto in codice! ( non sono pratico )
Risposte
Nessuno si fa sotto?
Up, interesserebbe anche a me se qualcuno può rispondere.
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