Esercizio analisi2 (calcolare f(A) )
ciao a tutti!
fra pochi giorni avrò l' esame di analisi 2.... ho già studiato la teoria, purtroppo però c' è una tipologia di esercizi (che mette sempre negli scritti) che non so proprio come si faccia a risolvere ( e non ho la minima idea di che metodi usi). potete per favore spiegarmi il procedimento e farmi vedere come si svolge questo esercizio che ho preso come esempio (era in un compito vecchio).
Determinare f(A) essendo:
$ A={(x,y,z) in R^3 ; x^2 + 4y^2 +z^2 <= 1, |z| >= 1/2 } $
$ f(x,y,z) = x^2 -4zy^2 + z$
fra pochi giorni avrò l' esame di analisi 2.... ho già studiato la teoria, purtroppo però c' è una tipologia di esercizi (che mette sempre negli scritti) che non so proprio come si faccia a risolvere ( e non ho la minima idea di che metodi usi). potete per favore spiegarmi il procedimento e farmi vedere come si svolge questo esercizio che ho preso come esempio (era in un compito vecchio).
Determinare f(A) essendo:
$ A={(x,y,z) in R^3 ; x^2 + 4y^2 +z^2 <= 1, |z| >= 1/2 } $
$ f(x,y,z) = x^2 -4zy^2 + z$
Risposte
Hai una funzione continua definita su un insieme \(A\) (non vuoto) compatto e connesso.
1) \(A\) compatto, \(f\) continua \(\Longrightarrow\) \(f\) ammette minimo \(m\) e massimo \(M\) in \(A\);
2) \(A\) connesso, \(f\) continua \(\Longrightarrow\) \(f(A)\) è connesso.
Se metti insieme 1) e 2) ottieni che \(f(A) = [m, M]\); ti basta dunque calcolare massimo e minimo assoluto di \(f\) in \(A\).
1) \(A\) compatto, \(f\) continua \(\Longrightarrow\) \(f\) ammette minimo \(m\) e massimo \(M\) in \(A\);
2) \(A\) connesso, \(f\) continua \(\Longrightarrow\) \(f(A)\) è connesso.
Se metti insieme 1) e 2) ottieni che \(f(A) = [m, M]\); ti basta dunque calcolare massimo e minimo assoluto di \(f\) in \(A\).
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