Esercizio Analisi Reale
Buona sera a tutti!
Sono alle prese con un esercizio di Analisi Reale che non riesco a risolvere, cioè ho un'idea di come vada svolto, ma poi non riesco a concluderlo.
ESERCIZIO: Siano $u,v$ $in$ $L(X,\mu)$, $t \in$ $RR$, $ g(t)=\int_{X}sqrt(u(x)^2+t^2v(x)^2)d\mu$ .
1.1 La funzione reale $g(t)$ è ben definita?
1.2 Calcolare $g'(t)$.
IDEA:
Sia $ g(t)=\int_{X}h(t)d\mu$
Posso usare $frac{d}{dt}g(t)=\int_{X}frac{d}{dt}h(t)d\mu$ se, detta $f_n=frac{h(t+frac{1}{n})-h(t)}{frac{1}{n}}$ riesco a dimostrare che verifica tutte le ipotesi del Teorema di Lebesgue (o teorema della convergenza dominata).
Vi ricordo il teorema:
SIa $f_n$ una successione di funzioni misurabili su $X$ tali che $f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n$ esista $AAx inX$.
Se esiste una funzione $g(x)$ sommabile, tale che $|f(x)|<=g(x)$ $AAn, AAx inX$ $=>$ $f(x)$ sommabile e $\lim_{n \to \infty}int_{X}f_n(t)d\mu=\int_{X}f(t)d\mu$.
In soldoni non riesco a trovare una una $g(x)$ che maggiori la successione ${f_n(t)}$ come richiesto nel teorema.
Utilizzando la disuguaglianza $|sqrt(x)-sqrt(y)|<=sqrt(|x-y|)$ riesco a semplificarmi la situazione, ma comunque non concludo nulla!
Avete dei suggerimenti?Grazie
Sono alle prese con un esercizio di Analisi Reale che non riesco a risolvere, cioè ho un'idea di come vada svolto, ma poi non riesco a concluderlo.
ESERCIZIO: Siano $u,v$ $in$ $L(X,\mu)$, $t \in$ $RR$, $ g(t)=\int_{X}sqrt(u(x)^2+t^2v(x)^2)d\mu$ .
1.1 La funzione reale $g(t)$ è ben definita?
1.2 Calcolare $g'(t)$.
IDEA:
Sia $ g(t)=\int_{X}h(t)d\mu$
Posso usare $frac{d}{dt}g(t)=\int_{X}frac{d}{dt}h(t)d\mu$ se, detta $f_n=frac{h(t+frac{1}{n})-h(t)}{frac{1}{n}}$ riesco a dimostrare che verifica tutte le ipotesi del Teorema di Lebesgue (o teorema della convergenza dominata).
Vi ricordo il teorema:
SIa $f_n$ una successione di funzioni misurabili su $X$ tali che $f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n$ esista $AAx inX$.
Se esiste una funzione $g(x)$ sommabile, tale che $|f(x)|<=g(x)$ $AAn, AAx inX$ $=>$ $f(x)$ sommabile e $\lim_{n \to \infty}int_{X}f_n(t)d\mu=\int_{X}f(t)d\mu$.
In soldoni non riesco a trovare una una $g(x)$ che maggiori la successione ${f_n(t)}$ come richiesto nel teorema.
Utilizzando la disuguaglianza $|sqrt(x)-sqrt(y)|<=sqrt(|x-y|)$ riesco a semplificarmi la situazione, ma comunque non concludo nulla!
Avete dei suggerimenti?Grazie
Risposte
Se serve vi scrivo passo passo le mie disuguaglianze e vi indico dove mi fermo (sperando di non aver fatto errori sciocchi!)!
(Un'altra cosa, in uno pseudo esercizio fatto da una ragazza online, lei invece di scrivere le $f_n$ come sopra, scrive $f_n=frac{f(frac{1}{n})-f(0)}{frac{1}{n}}$, che nel passaggio al limite però, rappresenta la $f'(x)$ centrata in $x_0=0$!
Ma è giusto?Non è limitativo?
(Un'altra cosa, in uno pseudo esercizio fatto da una ragazza online, lei invece di scrivere le $f_n$ come sopra, scrive $f_n=frac{f(frac{1}{n})-f(0)}{frac{1}{n}}$, che nel passaggio al limite però, rappresenta la $f'(x)$ centrata in $x_0=0$!
Ma è giusto?Non è limitativo?
Ma il punto 1.1 lo hai svolto ? Fatto quello il punto successivo è simile. Comunque l'idea è giusta: calcolare il limite del rapporto incrementale usando teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (convergenza dominata, convergenza monotona, quelli sono).
Ma che concettualmente fosse giusto, ci contavo abbastanza, il problema però pratico.
Mi spiego meglio:
$|f_n(t)|=|frac{sqrt( u(x)^2 + (t+frac{1}{n})^2v(x)^2 )-sqrt( u(x)^2 + t^2v(x)^2 )}{frac{1}{n}}|<=frac{sqrt(|(t+frac{1}{n})^2v(x)^2 - t^2v(x)^2 |)}{frac{1}{n}}$ per la disuguaglianza sopra citata.
$frac{sqrt(|(t+frac{1}{n})^2v(x)^2 - t^2v(x)^2 |)}{frac{1}{n}}=|v(x)|frac{sqrt(|(frac{1}{n})^2 + frac{t}{2n}|)}{frac{1}{n}}$
Adesso?
Sono arrivata a $<=|v(x)|sqrt(|1 + frac{t}{2}n|)$
Salvo errori scemi (ma possibilissimi!), adesso come vado avanti?Sono bloccata qui, sarei dovuta arrivare ad avere a destra un termine indipendente da $n$ :'(
Mi spiego meglio:
$|f_n(t)|=|frac{sqrt( u(x)^2 + (t+frac{1}{n})^2v(x)^2 )-sqrt( u(x)^2 + t^2v(x)^2 )}{frac{1}{n}}|<=frac{sqrt(|(t+frac{1}{n})^2v(x)^2 - t^2v(x)^2 |)}{frac{1}{n}}$ per la disuguaglianza sopra citata.
$frac{sqrt(|(t+frac{1}{n})^2v(x)^2 - t^2v(x)^2 |)}{frac{1}{n}}=|v(x)|frac{sqrt(|(frac{1}{n})^2 + frac{t}{2n}|)}{frac{1}{n}}$
Adesso?
Sono arrivata a $<=|v(x)|sqrt(|1 + frac{t}{2}n|)$
Salvo errori scemi (ma possibilissimi!), adesso come vado avanti?Sono bloccata qui, sarei dovuta arrivare ad avere a destra un termine indipendente da $n$ :'(
(già ho trovato un errore, ho sbagliato a fare il quadrato, che polla! $<=|v(x)|sqrt(|1+2tn|)$) Chiedo perdono!
"GiuliaS1802":
(già ho trovato un errore, ho sbagliato a fare il quadrato, che polla! $<=|v(x)|sqrt(|1+2tn|)$) Chiedo perdono!
Non mi pare che hai risolto, visto che $n$ ti e' rimasto.
Secondo me puoi fare cosi. Osserva che ti e' rimasto
$n|v(x)|\sqrt{\frac{2t}{n}+\frac{1}{n^2}}$
ora, $t$ e' fissato e quindi, per $n$ grande hai $\frac{2t}{n}\leq1$ e quindi puoi maggiorare la precedente stima con
$n|v(x)|\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\sim |v(x)|$, che e' sommabile.
La tua soluzione è perfetta.
E' la conclusione che non trovavo!
Grazie mille.
E' la conclusione che non trovavo!
Grazie mille.
Ciao @Valerio, scusa ma questa:
$n|v(x)|\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\sim |v(x)|$non l'ho capita...
Bene, sono rientrata questa mattina proprio con lo scopo di fare la stessa domanda:
$lim_(x->oo)sqrt(1+x^2)/x=1$, ma sostituendo $x=1/n$ nella mia formula, io sto mandando $x->0$!
O sbaglio?
$lim_(x->oo)sqrt(1+x^2)/x=1$, ma sostituendo $x=1/n$ nella mia formula, io sto mandando $x->0$!
O sbaglio?
Avete ragione, scusate!
Provo a rimediare. Riparto da
$n(\sqrt{u^2(x)+(t+\frac{1}{n})^2v^2(x)}-\sqrt{u^2(x)+t^2v^2(x)})$
Mettendo la $n$ dentro ottengo
$\sqrt{n^2u^2+(nt+1)^2v^2}-\sqrt{n^2u^2+(nt)^2v^2}$
Per studiare il comportamento asintotico in $n$ faccio il solito trucco: moltiplico e divido per il coniugato. Ottengo
$\frac{(2nt+1)v^2}{\sqrt{n^2u^2+(nt+1)^2v^2}+\sqrt{n^2u^2+(nt)^2v^2}}$
E quindi
$\frac{n(2t+\frac{1}{n})v^2}{n(\sqrt{u^2+(t+1/n)^2v^2}+\sqrt{u^2+t^2v^2})}$
Ora semplificare le $n$. Maggiorare a numeratore $1/n\leq1$. Riguardo al denominatore bisogna stare un po' attenti. Infatti se $t>0$, allora la funzione $t^2$ e' crescente e posso minorare il denominatore con $1/n>0$. Per $t\leq0$ la funzione e' decrescente, ma in questo caso si puo' minorare il denominatore mettendo $(t+1)^2$ al posto di $(t+\frac{1}{n})^2$ (se non mi sbaglio - o qualcosa di simile) e si seguono conti simili. Dunque, per $t>0$, si ha
$\leq \frac{(2t+1)v^2}{2\sqrt{u^2+t^2v^2}}$
Ora il denominatore si puo' minorare togliendo $u^2$ e quindi otteniamo l'ulteriore maggiorazione
$\leq\frac{2t+1}{2t}|v|$
che e' sommabile per ipotesi e perche' $t>0$.
Per $t\leq0$ i conti sono simili e se non li ho sbagliati viene una maggiorazione del tipo
$\leq\frac{2t+1}{2(|t|+|t+1|)}|v|$
Quindi il denominatore non si annulla mai e la maggiorazione dovrebbe quindi dare una funzione sommabile per ogni $t$.
Spero che sia giusta (almeno a grandi linee), perche' ho gia' perso mezza giornata di lavoro e anche perche' non mi pare il caso di fare due brutte figure di fila
Provo a rimediare. Riparto da
$n(\sqrt{u^2(x)+(t+\frac{1}{n})^2v^2(x)}-\sqrt{u^2(x)+t^2v^2(x)})$
Mettendo la $n$ dentro ottengo
$\sqrt{n^2u^2+(nt+1)^2v^2}-\sqrt{n^2u^2+(nt)^2v^2}$
Per studiare il comportamento asintotico in $n$ faccio il solito trucco: moltiplico e divido per il coniugato. Ottengo
$\frac{(2nt+1)v^2}{\sqrt{n^2u^2+(nt+1)^2v^2}+\sqrt{n^2u^2+(nt)^2v^2}}$
E quindi
$\frac{n(2t+\frac{1}{n})v^2}{n(\sqrt{u^2+(t+1/n)^2v^2}+\sqrt{u^2+t^2v^2})}$
Ora semplificare le $n$. Maggiorare a numeratore $1/n\leq1$. Riguardo al denominatore bisogna stare un po' attenti. Infatti se $t>0$, allora la funzione $t^2$ e' crescente e posso minorare il denominatore con $1/n>0$. Per $t\leq0$ la funzione e' decrescente, ma in questo caso si puo' minorare il denominatore mettendo $(t+1)^2$ al posto di $(t+\frac{1}{n})^2$ (se non mi sbaglio - o qualcosa di simile) e si seguono conti simili. Dunque, per $t>0$, si ha
$\leq \frac{(2t+1)v^2}{2\sqrt{u^2+t^2v^2}}$
Ora il denominatore si puo' minorare togliendo $u^2$ e quindi otteniamo l'ulteriore maggiorazione
$\leq\frac{2t+1}{2t}|v|$
che e' sommabile per ipotesi e perche' $t>0$.
Per $t\leq0$ i conti sono simili e se non li ho sbagliati viene una maggiorazione del tipo
$\leq\frac{2t+1}{2(|t|+|t+1|)}|v|$
Quindi il denominatore non si annulla mai e la maggiorazione dovrebbe quindi dare una funzione sommabile per ogni $t$.
Spero che sia giusta (almeno a grandi linee), perche' ho gia' perso mezza giornata di lavoro e anche perche' non mi pare il caso di fare due brutte figure di fila
Mi sembra corretto; si ottiene (circa) la stessa stima usando all'inizio la disuguaglianza
\[\sqrt{1+s} \leq 1+\frac{s}{2},\qquad s\geq -1.\]
\[\sqrt{1+s} \leq 1+\frac{s}{2},\qquad s\geq -1.\]
Perfetto, non ero neanche lontanamente vicina alla soluzione, andiamo bene!
Vi ringrazio della disponibilità!
Vi ringrazio della disponibilità!
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