Esercizio Analisi II
Ciao a tutti, potreste darmi una mano a risolvere questo esercizio? Sono un po in difficoltà.
Determinare il volume della regione di spazio contenente il punto (0,R,0) e delimitata dalle superfici:
$x^2+y^2=z^2, x^2+y^2-2Ry=0$
Non so come impostarlo e non capisco a livello grafico la situazione.
Grazie
Determinare il volume della regione di spazio contenente il punto (0,R,0) e delimitata dalle superfici:
$x^2+y^2=z^2, x^2+y^2-2Ry=0$
Non so come impostarlo e non capisco a livello grafico la situazione.
Grazie
Risposte
Suggerimento: $x^2+y^2-2Ry=0 \iff x^2+(y-R)^2=R^2$, ora è più chiaro a livello grafico? A questo punto, usa le coordinate o sferiche o cilindriche.
Ciao Mephlip! Grazie per avermi risposto.
So che la prima è un doppio cono e la seconda sarebbe una circonferenza di raggio R e centro C=(0,R) che in $R^3$ è un cilindro . Solo che non riuscendo a capire a livello grafico la situazione non capisco come impostarlo, perché non so se queste due superfici si intersecano o meno. Scusami, ma ripeto sono un attimo confuso e non riesco a mettere a fuoco la situazione.
So che la prima è un doppio cono e la seconda sarebbe una circonferenza di raggio R e centro C=(0,R) che in $R^3$ è un cilindro . Solo che non riuscendo a capire a livello grafico la situazione non capisco come impostarlo, perché non so se queste due superfici si intersecano o meno. Scusami, ma ripeto sono un attimo confuso e non riesco a mettere a fuoco la situazione.
Prego! Allora: innanzitutto, l'intersezione è un problema di prerequisiti più che un problema di analisi II. Come fai ad accertarti che due figure geometriche si intersecano? Se il fatto che $R>0$ è generico ti disturba, prova anche a fissare dei valori di $R$ o a fare dei ragionamento qualitativi con dei disegni ad $R$ fissato. Disegna il doppio cono (anche se, in realtà, ti interessa solamente la regione di spazio da esso racchiusa corrispondente alla regione di spazio contenente il punto $(0,R,0)$). Nota che ci sono molte simmetrie. Una volta convintoti che l'intersezione è possibile per ogni $R$ nella regione contenente il punto $(0,R,0)$, se vuoi possiamo pure cercare di dimostrarlo rigorosamente insieme.
Una volta dedotta questa informazione, ad occhio mi sembra difficile impostare l'integrale triplo esclusivamente tramite informazioni geometriche; quindi ti invito semplicemente a provare in entrambe le coordinate che ti ho suggerito prima, visto che ti insegnerà molto di più l'esperienza personale rispetto a me (così vedrai più velocemente ad occhio quali coordinate convengono in casi come questo, in futuro). Ovviamente, se avrai dubbi una volta impostato il problema saremo tutti ben lieti di aiutarti a concludere l'esercizio!
Una volta dedotta questa informazione, ad occhio mi sembra difficile impostare l'integrale triplo esclusivamente tramite informazioni geometriche; quindi ti invito semplicemente a provare in entrambe le coordinate che ti ho suggerito prima, visto che ti insegnerà molto di più l'esperienza personale rispetto a me (così vedrai più velocemente ad occhio quali coordinate convengono in casi come questo, in futuro). Ovviamente, se avrai dubbi una volta impostato il problema saremo tutti ben lieti di aiutarti a concludere l'esercizio!
Ciao Dr.Hermann,
La situazione mi pare analoga a quella di questo thread, a parte il fatto che nel tuo caso il cilindro è sull'asse $y$ invece che sull'asse $x$ e non si tratta di una sfera, ma di un cono.
Quindi, posto $D := {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + (y −R)^2 \le R^2, x \ge 0}$, si ha:
$ V=4 \int \int_D f(x, y) \text{d}x \text{d}y $
ove $z = f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} $
A questo punto dovresti riuscire a concludere, ma in caso contrario siamo qui...
La situazione mi pare analoga a quella di questo thread, a parte il fatto che nel tuo caso il cilindro è sull'asse $y$ invece che sull'asse $x$ e non si tratta di una sfera, ma di un cono.
Quindi, posto $D := {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + (y −R)^2 \le R^2, x \ge 0}$, si ha:
$ V=4 \int \int_D f(x, y) \text{d}x \text{d}y $
ove $z = f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} $
A questo punto dovresti riuscire a concludere, ma in caso contrario siamo qui...
Ciao Pilloeffe e grazie per avermi risposto anche tu!
Allora, ora ho le idee leggermente più chiare. Nel senso che alla fine ho capito che è una sorta di "finestra di finestra di Viviani" a livello concettuale. Con il metodo da te suggerito ottengo un valore di $8/3 R^3$. Ho utilizzato le coordinate polari:
$x=\rhocos\theta, y=R+\rhosin\theta$le quali mi danno un dominio: $U=0<=\rho<=R, 0<=\theta<=2pi$
Allora, ora ho le idee leggermente più chiare. Nel senso che alla fine ho capito che è una sorta di "finestra di finestra di Viviani" a livello concettuale. Con il metodo da te suggerito ottengo un valore di $8/3 R^3$. Ho utilizzato le coordinate polari:
$x=\rhocos\theta, y=R+\rhosin\theta$le quali mi danno un dominio: $U=0<=\rho<=R, 0<=\theta<=2pi$
Dunque, vediamo un po'... Secondo me conviene grandemente usare le coordinate polari con polo l'origine $O(0,0) $, visto che la funzione integranda diventa $\rho $ e si integra su $D' = \Phi^{-1}(D) = {(\rho, \theta) in \RR^2 : 0 \le \rho \le 2R sin\theta, 0 \le \theta \le \pi/2} $
Considerando anche lo jacobiano della trasformazione $\rho$ si ha:
$ V = 4 \int \int_D \sqrt{x^2 + y^2} \text{d}x \text{d}y = 4 \int \int_{D'} \rho^2 \text{d}\rho \text{d}\theta = 4 \int_0^{\pi/2} [\int_0^{2R sin\theta}\rho^2 \text{d}\rho] \text{d}\theta = 4/3 \int_0^{\pi/2} [\rho^3]_0^{2R sin\theta} \text{d}\theta = $
$ = 32/3 R^3 \int_0^{\pi/2} sin^3\theta \text{d}\theta = ... = 64/9 R^3 $
Considerando anche lo jacobiano della trasformazione $\rho$ si ha:
$ V = 4 \int \int_D \sqrt{x^2 + y^2} \text{d}x \text{d}y = 4 \int \int_{D'} \rho^2 \text{d}\rho \text{d}\theta = 4 \int_0^{\pi/2} [\int_0^{2R sin\theta}\rho^2 \text{d}\rho] \text{d}\theta = 4/3 \int_0^{\pi/2} [\rho^3]_0^{2R sin\theta} \text{d}\theta = $
$ = 32/3 R^3 \int_0^{\pi/2} sin^3\theta \text{d}\theta = ... = 64/9 R^3 $
Lo avevo fatto anche io inizialmente, avendo letto nel thread che era meglio utilizzare lo coordinate polari con polo l'origine. Avendo però $2Rsin\theta>=0$ mi risulta $0<=\theta<=pi$ e non $0<=\theta<=pi/2$.
In realtà sostituendo $x = \rho cos\theta$ e $y = \rho sin \theta $ nelle disuguaglianze che definiscono $D$ si ottiene:
${(\rho^2 \cos^2\theta +(\rho \sin\theta - R)^2 \le R^2),(\rho \cos\theta \ge 0):} \iff {(\rho^2 \cos^2\theta +\rho^2 \sin^2\theta - 2\rho R\sin\theta + R^2 \le R^2),(\rho >= 0; \cos\theta \ge 0):} \iff $
$ \iff {(\rho^2 - 2\rho R\sin\theta \le 0),(\rho >= 0; cos\theta \ge 0):} \iff {(0 \le \rho \le 2R\sin\theta),(\cos\theta \ge 0):} \iff {(0 \le \rho \le 2R\sin\theta),(0 \le \theta \le \pi/2):}$
${(\rho^2 \cos^2\theta +(\rho \sin\theta - R)^2 \le R^2),(\rho \cos\theta \ge 0):} \iff {(\rho^2 \cos^2\theta +\rho^2 \sin^2\theta - 2\rho R\sin\theta + R^2 \le R^2),(\rho >= 0; \cos\theta \ge 0):} \iff $
$ \iff {(\rho^2 - 2\rho R\sin\theta \le 0),(\rho >= 0; cos\theta \ge 0):} \iff {(0 \le \rho \le 2R\sin\theta),(\cos\theta \ge 0):} \iff {(0 \le \rho \le 2R\sin\theta),(0 \le \theta \le \pi/2):}$
ah ok giusto, non mi ricordavo del $x>=0$ del dominio.
Va bene, grazie mille!!
Va bene, grazie mille!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo