Esercizio Analisi II

[cicciopantera]

Vorrei alcuni chiarimenti riguardo il seguente esercizio:
Data la funzione $f(x,y)$ definita a tratti:
${ ( x^2arctg(y/x)-y^2arctg(x/y) [xy!=0] ),( 0 [xy=0] ):}$

calcolare le derivate parziali miste:
$ f_(xy) (0,0)
f_(yx) (0,0) $

L'esistenza della funzione a tratti non mi convince, ho semplicemente calcolato le parziali miste per xy diversi da 0 ma credo che la questione sia ben diversa...

[Overflow94]

In y=0 la derivata parziale rispetto a x vale 0, in x=0 e anche in (x,y)=(0,0) vale 0:
$ lim_(h -> 0) (f(h,y)-f(0,y))/h=(h^2arctg(y/h)-y^2arctan(h/y))/h $
E' indeterminata 0 su 0 quindi applichiamo de l'hopital:
$ lim_(h -> 0)2harctg(y/h)-y=-y $

Quindi ricapitolando:
$ (partial f)/(partial x)(x,y) { ( 2xarctg(y/x)-y\ \ per\ x != 0vv y!=0),( -y\ \ per \ x=0^^ y=0 ):} $

A questo punto deriviamo tramite la definizione questa funzione in (0,0) rispetto a y per ottenere la derivata mista xy:

$ lim_(k -> 0) ((partial f)/(partial x) (0,k)-(partialf)/(partial x) (0,0))/k=-1 $

Analogamente si procede per la derivata mista rispetto a x.
Spero di non aver sbagliato a derivare la funzione