Esercizio analisi complessa (poli)

[blackout91]

salve a tutti , avrei qualche dubbio sull'ordine del polo e quindi il calcolo del relativo residuo riguardo la funzione

f(z)= (1-cos z)/z^3

Il residuo se considero il polo triplo risulta 1/2, qualcuno puo spiegarmi mneglio se è triplo

[paolotesla91]

Ciao. Premetto che sono anche io alle prime armi, quindi non prendere come oro colato tutto ciò che ti dico. Come saprai, esistono almeno tre tipi di singolarità isolate: singolarità eliminabili, singolarità essenziali e i poli. I poli vanno ricercati tra punti in cui la funzione $f(z)$ non esiste. Quindi nel tuo caso la funzione non esiste se $z=0$ con molteplicità 3. Io per sicurezza, per verificare di che ordine è un polo, applico una semplice proposizione che ti dimostra che: se $z_0$ è una sing. isolata della funzione $f(z)$, allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:

$1$ $z_0$ è polo di ordine $N$;
$2$ $(z-z_0)^Nf(z)$ converge in $z_0$ ad un valore non nullo;
$3$ $f$ è non nulla intorno a $z_0$ e
$g(z)=\{(1/(f(z)), z != z_0),(0, z=z_0):}$

ha in $z_0$ uno zero di ordine $N$.

[Seneca1]

Io svilupperei in serie di Taylor il $cos(z)$ e ricaverei così la serie di Laurent di $f(z)$ nel punto $z = 0$.

Comunque,

"paolotesla91":esistono almeno tre tipi di singolarità isolate

esistono esattamente tre tipi di singolarità isolate.

[blackout91]

ma quindi siete d'accordo sul fatto che z=0 è un polo triplo??

[poncelet]

Perché pensi che sia un polo triplo?

[blackout91]

perchè inizialmente N è l'ordine con cui poter lavorare e ricavare successivamente da li il residuo con la nota formuletta

[poncelet]

Prima di utilizzare la formula per calcolare il residuo devi stabilire l'ordine del polo.

[blackout91]

e come posso fare a stabilire l'ordine del polo?

[poncelet]

Studia l'ordine degli zeri di numeratore e denominatore separatamente e poi vedi se l'ordine degli zeri al denominatore è compensato parzialmente da quelli del numeratore.

[paolotesla91]

Il metodo più sicuro è quello proposto da Seneca. In effetti il teorema a cui ho fatto cenno prima è in realtà una conseguenza del fatto che $z_0$ sia polo della funzione, ma il metodo più sicuro resta sempre sviluppare $f$ in serie di Laurent.

@Seneca: grazie per la correzione

[gugo82]

@blackout91: Per un po' di studio di funzione complessa, vedi questi fogli.