Esercizio analisi complessa 2

[SuperMath]

Siano f(z) e g(z) analitiche in D, tali che f(z)*g(z) ´e identicam. nulla in D. Provare che almeno una delle due funzioni ´e identicam. nulla in D.

Uso il teorema del prolungamento analitico.
Supponiamo f non identicamente nulla in D e sia C un punto tale che $ f(C)!= 0 $
Ne segue per il principio di annullamento del prodotto $ g(C)= 0 $

Ora, o g è identicamente nulla in un intorno di C e quindi è identicamente nulla in D, oppure C è uno zero isolato per g.
Se C è uno zero isolato per g, per definizione esiste un intorno di C tale che $ g!=0 $ (tranne in C)
Quindi f deve essere nulla in quell'intorno e quindi in un qualsiasi aperto contenuto in esso, e quindi per il teorema f è identicamente nulla in D.
Può andare?

[GhHardy]

It is correct. But maybe you would want an (at least for me) easier way to write the same thing:

You know that $ fg =0 $ in D. If one of them is not identically zero in D, say g. Then, by the identity theorem, there exists an open set $ O subset D$ such that $g(z) ne 0$ for $z in O$. Then $f(z)=0$ for all $z in O$, so, by the identity theorem (again), you have that f is identically zero in D.