Esercizio analisi complessa

[SuperMath]

Trovare tutte le funzioni f(z), analitiche nel cerchio unitario, che ivi verificano la equazione:

$ f(iz)=i*f(z) $

Ho provato a considerare, se z=x+iy:

$ f(iz)=f(i*(x+iy))=f(-y+ix) $

e si impone : $ f(-y+ix) = i*f(x+iy) $

e passando alle componenti :

$ u(-y,x)+iv(-y,x)=-v(x,y)+i*u(x,y) $

e quindi $ u(-y,x)=-v(x,y) $ $ v(-y,x)=u(x,y) $

ma sinceramente non saprei come andare avanti, ammesso che ciò che ho scritto sia sensato

[GhHardy]

There is a very easy example of analytic function verifying this property. Once you have this function you are done by some theorem by Weierstrass.

[SuperMath]

Banalmente le funzioni costanti e la funzione f(z)=z
Ora ci penso meglio. Quale teorema di Weierstrass ?Grazie

[GhHardy]

La funzione f(z)=z non è costante. Scusa, I was confused. Maybe you don't have to use any Weierstrass's theorem. In any case, I would recommend you to look how an analytic function is (by definition).

[SuperMath]

Se f(iz)=i*f(z) in un intorno di 0 per definizione :

$ sum_(n=0tooo) Cn (iz)^n = isum_(n =0tooo) Cn(z)^n=sum_(n =0tooo)i*Cn(z)^n $

da cui segue :

$ i*Cn=i^n Cn $

che implica che la serie abbia i coefficienti nulli tranne i coefficienti c(n+4) a partire da n=1

Quindi la serie è nella forma : $ sum_(n =1tooo) Cn(z)^(n+4) $

E un esempio è la funzione : $ z + z^5 $

Può andare?

[GhHardy]

"SuperMath":Se f(iz)=i*f(z) in un intorno di 0 per definizione :

$ sum_(n=0tooo) Cn (iz)^n = isum_(n =0tooo) Cn(z)^n=sum_(n =0tooo)i*Cn(z)^n $

On one hand, this is not totally correct. Your C is actually a sequence with certain properties.

"SuperMath":

che implica che la serie abbia i coefficienti nulli tranne i coefficienti c(n+4) a partire da n=1

Quindi la serie è nella forma : $ sum_(n =1tooo) Cn(z)^(n+4) $

On the other hand this is not the correct conclusion. Furthermore, your example doesn't satisfy that the coefficients are 0 until the 5th one. In any case, try for example with $ f(z)=z^5 + z^6 $ to see that your conclusion is false.

[SuperMath]

Ho sbagliato a scrivere la serie, sorry era notte

$ sum_(n =0tooo) Cn*(z)^(4n+1) $

[GhHardy]

But still your solution doesn't include the function $ f(z)= 75885994758z+ 27 z^5 $, for example.

[SuperMath]

I don't see why.
If you put in my power series :

Co=75885994758
C1=27
Cn=0 if n>1

You have the function you wrote.

[GhHardy]

Oh, ok, so C is a sequence. I understood C=constant. I didn't see the "n" in $ C_n $. Sorry for that.
Well, in any case, your sequence C must satisfy some additional condition if you want your function to be analytic in the unit disk. You're almost done.

[SuperMath]

$ lim _(n->oo)(|Cn|)^(1/n)*|z|<1 $

ed essendo |z|=1 sulla circonferenza, si ottiene :

$ lim _(n->oo)(|Cn|)^(1/n)<1 $

[GhHardy]

In fact, you should check the radius of convergence of your power series. You want it to be $ geq 1$.