Esercizio Analisi 3

[Maryse1]

Stavo rivedendo alcuni esercizi di vecchi esami di Analisi 3, e mi sono trovata in difficoltà con uno di questi. Questo è il testo:

Sia f(x,y)= $ (x+2y-2)^2+ax^4 $ con a parametro appartenente ai reali, e sia P=(0,1). Studiare al variare di a, se P è di massimo/minimo relativo per f o ne l'uno ne l'altro.

Allora, io l'ho svolto in questo modo:
Prima mi sono trovata le derivate parziali fxx fyy e fxy, e mi risultano:

fxx= $ =2+12ax^2 $
fyy= 8
fxy=fyx=4

quindi, la matrice Hessiana è:

$ ( ( 2+12ax^2 , 4 ),( 4 , 8 ) ) $

sostituendo così il punto mi ritrovo la matrice:
$ ( ( 2 , 4 ),( 4 , 8 ) ) $

Il determinante di questa è =0 e perciò essendo fxx>0 la matrice, è semidefinita positiva e P può essere o di minimo o ne massimo ne minimo. Adesso però, come faccio a determinare se P sia di minimo o meno al variare di a?...

[Rigel1]

Hai che \(f(0,1)=0\). Nel caso \(a\geq 0\) vedi subito che \(f(x,y)\geq 0\) per ogni \((x,y)\), quindi puoi facilmente stabilire la natura di \(P\).
Nel caso \(a<0\) prova a vedere cosa succede su opportune restrizioni (magari ce n'è qualcuna che fa sparire la parte quadratica...).

[Maryse1]

Mmm ok quindi se $ a >= 0 $ il punto P=(0,1) è di minimo.. Mentre ora mi devo studiare il caso in cui a sia negativo.. la soluzione dice che, per a negativo non è ne max ne min..

[Rigel1]

La soluzione è corretta.

[Maryse1]

E' si, per a negativo vedo cosa succede su alcune restrizioni..