Esercizio Analisi 2 - Problema di Cauchy globale (metodo risoluzione qualitativo)

[nicoD]

Cosideriamo il seguente problema di Cauchy
$ { ( dot(x)=f(x,t)=e^(-x^2)+t^4),(x(0)=0):} $
Quale/i delle seguenti affermazioni e'/sono certamente vera/e?
(1) Questo Problema di Cauchy ammette un’unica soluzione definita su tutto R.
(2) Questo Problema di Cauchy ammette una soluzione non negativa.
soluzione: (1)V,(2)F

(1) - ragionamento
1. Verifico le ipotesi del Teorema di Cauchy Locale
$f:IxxA->R^n$ $AsubseR^n$
[list=1]
[*:f4triqb6]$t_0 in dot(I)$ e $x_0 in dot(A).$[/*:m:f4triqb6]
[*:f4triqb6]$finC^0(IxxA;R^n)$[/*:m:f4triqb6]
[*:f4triqb6]$f$ localmente Lipschitziana in $x inA$ uniformemente rispetto a $t in I$.[/*:m:f4triqb6][/list:o:f4triqb6]
*1.
Si vede ad occhio.
*2
La funzione $f(t,x)$ è deribabile infinite volte su $IxxA$, con derivata continua su $IxxA$, quindi è anche di classe $C^0$.
*3.
$f$ localmente Lipschitziana in $x in A$ uniformemente rispetto a $t in I$, per definizione significa che
$ AA x_0 in A, EE r>0,EEL>0: AAx_1,x_2in[AnnB(x_0,r)], AAtinI =>|| f(t,x_1)-f(t,x_2)|| intuitivamente lo dimostro osservando dal grafico della funzione$dot(x)=f(x,t)=e^(-x^2)+t^4 $ che la crescita è limitata, ossia il rapporto tra la variazione delle ordine e le variazione delle ascisse non può mai superare un valore L fissato

La crescita è quindi limitata.
Osservando la funzione direi che $f$ è globalmente Lipschitz => localmenta Lipschitz
le ipotesi del teorema di Cauchy locale sono verificate.
Per avere il teorema di Cauchy globale aggiungo l'ipotesi di sublinearità
*4.
Anche la sublinearità si intuisce sempre guardando il grafico della funzione e osservando che possiamo sempre controllare la crescita con delle rette, non c'è nemmeno un esplosione della soluzione data da un asintoto verticale, ne concludo che c'è sublinearità.
LE IPOTESI SONO TUTTE VERIFICATE
$=>$ La soluzione esiste ed è unica

(2) Qui sono in alto mare.
Disegno graficamente il grafico $x(t) xx t$ partendo dal punto $(x_0,t_0)$ se prendo le x spostandomi verso l'altro la funzione cresce lentamente, ma non so bene come. Se invece mi muovo verso il basso vado nel terzo quadrante, quindi ho valori negativi? quindi la funzione è negativa?

[Mephlip]

Non ho visto la seconda richiesta perché ora non ho tempo, ma per la prima puoi cavartela con molta meno fatica (ed anche più rigorosamente) dimostrando che $f(x,t)$ è di classe $C^1$ rispetto ad $x$ uniformemente in $t$.

[nicoD]

"Mephlip":Non ho visto la seconda richiesta perché ora non ho tempo, ma per la prima puoi cavartela con molta meno fatica (ed anche più rigorosamente) dimostrando che $f(x,t)$ è di classe $C^1$ rispetto ad $x$ uniformemente in $t$.

Potrei chiederti un suggerimento sul secondo punto che non riesco proprio a capire.

[Reyzet]

Beh se $x=x(t)$ è la soluzione (massimale globale quindi definita in tutto R) si ha $x'(t)=t^4+e^-[x(t)^2]\geq 0$ per ogni t reale, e cioè risulta che la soluzione del PdC è non decrescente, e siccome la condizione iniziale è $x(0)=0$...