Esercizio am1

[Maryse1]

Dimostrare che se f e g sono due funzioni reali e continue in un insieme $ A sube R $ allora anche le funzioni
$ x ->max(f(x),g(x)) $
$ x ->min(f(x),g(x)) $
sono continue in A.

Non ho idea di come svolgerlo..

[Emar1]

Provo a darti qualche spunto...

Ragioniamo così (consideriamo la prima funzione, ma il ragionamento dovrebbe essere equivalente):
Vi saranno dei punti in cui i grafici delle due funzioni si intersecano, ovvero i punti in cui $f(x) = g(x)$. Gli unici punti critici per la continuità sono appunto quelli appena citati, lontano da questi punti, infatti, $h(x) = max{f(x),g(x)}$ sarà equivalente a $f(x)$ oppure a $g(x)$ che sappiamo essere continue.

Sia $x_0$ un punto tale che $f(x_0)=g(x_0)$, e supponiamo che $f(x) > g(x)$ per $x < x_0$. In un intorno di questo punto la nostra funzione può essere scritta così:\[h(x) = \begin{cases} f(x) & se & x \le x_0 \\ g(x) & se& x > x_0 \end{cases}\]

Se riesci a far vedere che $h(x)$ così definita è continua nel punto incriminato $x_0$ dovresti essere a posto.

Spero di non aver detto qualche stupidata

[Maryse1]

Mmm..sì, però non ho ben capito dove vorresti indirizzarmi

[Emar1]

Guarda l'ultima espressione per $h(x)$. Prova a verificare la continuità nel punto $x_0$

[Maryse1]

Nel caso, devo verificare che il limite destro e sinistro di h(x) concidono..in questo caso sì, e quindi posso dire che h(x) è continua. Giusto?

[Emar1]

E' esattamente quello che avrei fatto io. I limiti coincidono proprio per la continuità delle due funzioni. A me sembra che sia un idea che funziona... che ne pensi?

Avrei piacere che qualcuno di autorevole confermasse

[Maryse1]

Sì, mi convince anche a me..vediamo se qualcuno conferma. Comunque ho visto anche la soluzione dell'esercizio, il professore fa diversamente (anche se non ho capito come ci arriva)..però non penso sia sbagliato

[Emar1]

Ti dispiace postare la soluzione? Immagino vada di $\varepsilon$ e $\delta$ a rotta di collo

[Maryse1]

No per niente, anzi..dice questo:

Basta osservare che:
$ max(f(x),g(x))= 1/2(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|) $
notando che f(x)+g(x) e |f(x)-g(x)| sono funzioni continue, allora è continua..

[Noisemaker]

"Maryse":Sì, mi convince anche a me..vediamo se qualcuno conferma. Comunque ho visto anche la soluzione dell'esercizio, il professore fa diversamente (anche se non ho capito come ci arriva)..però non penso sia sbagliato

Dati due numeri reali $x,y,$ dal fatto che l'ordinamento di $\RR$ è totale, discende che esistono
\[\max\{x,y\},\qquad\mbox{e}\qquad\min\{x,y\},\]
e si ha che :
\begin{align}
\max\{x,y\}=\frac{1}{2}\left(x+y+|x-y|\right),\qquad \min\{x,y\}=\frac{1}{2}\left(x+y-|x-y|\right);\tag{1}
\end{align}
per convincersene basta considerare il caso $x\le y$ e ricordare che in tal caso è $|x-y|=y-x;$ l'altro caso si ha per simmetria. Geometricamente le formule $(1)$ sono equivalenti: $(x+y)/2$ è in ogni caso il centro dell'intervallo di estremi $x$ e $y,$ mentre $(x-y)/2$ ne è la semiampiezza; addizionandole si ottiene l'estremo più grande, sottraendole quello più piccolo. Quindi nel tuo caso (ricorda sempre che $f(x)$ rappresenta un numero)
\begin{align}
\max(f(x),g(x))=\frac{1}{2}\left(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|\right);
\end{align}
essendo $f,g$ continue, anche la somma $f+g$ sarà continua come sarà continua il modulo della differenza $|f-g|.$

[Maryse1]

Ah ecco finalmente ho capito Grazie!