Esercizio all'esame con testo errato? Ottimizzazione vincolata
Sia $f(x,y)=9y-x^2$ soggetta al vincolo $D={(x,y):x^2+y^2<=16, x^2+y^2>=(1/16) }$
Richiedeva di calcolare i punti critici e quindi determinare quale fosse il massimo e quale il minimo. All'esame ho fatto probabilmente un errore di segno e quindi ho continuato l'esercizio. Arrivando a casa, invece, ho provato a rifarlo e non mi venivano soluzioni reali. Allora ho controllato su Wolfram, ed anche in quel caso indicava che non ci fossero punti critici.
Dunque, cosa suggerite di fare? Nel frattempo, ho provato a mandare una mail alla docente.
Altra domanda: quale ipotesi non rispetta questa f o questa D affinché non sia valido il metodo dei moltiplicatori di Lagrange?
Richiedeva di calcolare i punti critici e quindi determinare quale fosse il massimo e quale il minimo. All'esame ho fatto probabilmente un errore di segno e quindi ho continuato l'esercizio. Arrivando a casa, invece, ho provato a rifarlo e non mi venivano soluzioni reali. Allora ho controllato su Wolfram, ed anche in quel caso indicava che non ci fossero punti critici.
Dunque, cosa suggerite di fare? Nel frattempo, ho provato a mandare una mail alla docente.
Altra domanda: quale ipotesi non rispetta questa f o questa D affinché non sia valido il metodo dei moltiplicatori di Lagrange?
Risposte
La prima cosa che puoi osservare è che l'insieme $D$ è compatto, cioè chiuso e limitato ((è una corona circolare compresa delle due circonferenze)), ed essendo la funzione $f$ di classe $C^{\infty}(\RR^2),$ il teorema di Weierstrass assicura l'esistenza dei punti di $\max$ e $\min$ di $f$ su $D;$ tali punti vanno cercati tra i punti interni a $D$ dove il gradiente della funzione $f$ si annulla, e sulla frontiera di $D.$ Per quanto riguarda i punti interni, è evidente che il gradiente non si annulla mai, pertanto i punti di $\max$ e $\min$ garantiti dal teorema di Weierstrass si troveranno necessariamente sulla frontiera di $D.$
In questo caso, non userei il metodo dei moltiplicatori, in quanto è molto più semplice parametrizzare i bordi; infarri detti
\[\Gamma_1: x^2+y^2=16 ,\qquad\Gamma_2: x^2+y^2=1/ 16,\]
per $\Gamma_1$ ponendo
\[x=4\cos t,\quad x=4\sin t,\qquad t\in[0; 2\pi)\]
e per $\Gamma_2$ ponendo
\[x=1/4\cos t,\quad x=1/4\sin t,\qquad t\in[0; 2\pi)\]
si tratterà di studiare, relativamente all'intervallo $[0; 2\pi)$ le funzione di una sola variabile
\begin{align}
v(t):&=f(4\cos t;4\sin t)=36 \sin t-16\cos^2 t,\qquad t\in [0; 2\pi)\\\\
w(t):&=f(1/4\cos t;1/4\sin t)=9/4 \sin t-1/16\cos^2 t,\qquad t\in [0; 2\pi).
\end{align}
Allora per $v(t)$ si ha:
\begin{align}
v'(t) = \cos t(36-32\sin t) \ge0\quad\Leftrightarrow\quad \cos t\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad 0\le t\le \pi/2\,\,\,\cup\,\,\,3\pi/2\le t\le 2\pi;
\end{align}
quindi la funzione $v(t)$ ha un massimo in $t=\pi/2$ e un minimo in$t=3\pi/2,$ e la funzione in due variabili avrà
\begin{align}
M=v(\pi/2) =f(4\cos(\pi/2);4\sin (\pi/2))=36,\quad m= v(3\pi/2) =f(4\cos(\pi/2);4\sin (\pi/2))=-36.
\end{align}
Analogamente per $w(t)$ si ha:
\begin{align}
w(t) = 1/4 \cos t(9- \sin t) \ge0\quad\Leftrightarrow\quad \cos t\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad 0\le t\le \pi/2\,\,\,\cup\,\,\,3\pi/2\le t\le 2\pi;
\end{align}
quindi la funzione $w(t)$ ha un massimo in $t=\pi/2$ e un minimo in $t=3\pi/2,$ e la funzione in due variabili avrà
\begin{align}
M=w(\pi/2) =f(1/4\cos(\pi/2);1/4\sin (\pi/2))=9/4,\quad m= w(3\pi/2) =f(4\cos(\pi/2);4\sin (\pi/2))=-9/4.
\end{align}
In questo caso, non userei il metodo dei moltiplicatori, in quanto è molto più semplice parametrizzare i bordi; infarri detti
\[\Gamma_1: x^2+y^2=16 ,\qquad\Gamma_2: x^2+y^2=1/ 16,\]
per $\Gamma_1$ ponendo
\[x=4\cos t,\quad x=4\sin t,\qquad t\in[0; 2\pi)\]
e per $\Gamma_2$ ponendo
\[x=1/4\cos t,\quad x=1/4\sin t,\qquad t\in[0; 2\pi)\]
si tratterà di studiare, relativamente all'intervallo $[0; 2\pi)$ le funzione di una sola variabile
\begin{align}
v(t):&=f(4\cos t;4\sin t)=36 \sin t-16\cos^2 t,\qquad t\in [0; 2\pi)\\\\
w(t):&=f(1/4\cos t;1/4\sin t)=9/4 \sin t-1/16\cos^2 t,\qquad t\in [0; 2\pi).
\end{align}
Allora per $v(t)$ si ha:
\begin{align}
v'(t) = \cos t(36-32\sin t) \ge0\quad\Leftrightarrow\quad \cos t\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad 0\le t\le \pi/2\,\,\,\cup\,\,\,3\pi/2\le t\le 2\pi;
\end{align}
quindi la funzione $v(t)$ ha un massimo in $t=\pi/2$ e un minimo in$t=3\pi/2,$ e la funzione in due variabili avrà
\begin{align}
M=v(\pi/2) =f(4\cos(\pi/2);4\sin (\pi/2))=36,\quad m= v(3\pi/2) =f(4\cos(\pi/2);4\sin (\pi/2))=-36.
\end{align}
Analogamente per $w(t)$ si ha:
\begin{align}
w(t) = 1/4 \cos t(9- \sin t) \ge0\quad\Leftrightarrow\quad \cos t\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad 0\le t\le \pi/2\,\,\,\cup\,\,\,3\pi/2\le t\le 2\pi;
\end{align}
quindi la funzione $w(t)$ ha un massimo in $t=\pi/2$ e un minimo in $t=3\pi/2,$ e la funzione in due variabili avrà
\begin{align}
M=w(\pi/2) =f(1/4\cos(\pi/2);1/4\sin (\pi/2))=9/4,\quad m= w(3\pi/2) =f(4\cos(\pi/2);4\sin (\pi/2))=-9/4.
\end{align}
Quindi in teoria dovrebbe venire anche con i moltiplicatori di Lagrange, e come mai in quel caso la soluzione non si riesce a trovare?
Mi spiego, lo faccio solo per uno giusto per capirsi.
$ L=9y-x^2+lambda (x^2+y^2-16) $
$ (partial L)/(partial x) =-2x+2xlambda =0rArr lambda=1 $
$ (partial L)/(partial y)=9+2ylambda =0rArr y=-9/2 $
$ (partial L)/(partial lambda)=x^2+y^2-16=0 $
Si ricava dunque
$ x^2+(81/4)=16 =0rArr x^2=16-(81/4) $
Che non ha radici reali. Perché?
Oltretutto anche con Wolfram mi dice che non ci sono punti critici, allego il file.
Mi spiego, lo faccio solo per uno giusto per capirsi.
$ L=9y-x^2+lambda (x^2+y^2-16) $
$ (partial L)/(partial x) =-2x+2xlambda =0rArr lambda=1 $
$ (partial L)/(partial y)=9+2ylambda =0rArr y=-9/2 $
$ (partial L)/(partial lambda)=x^2+y^2-16=0 $
Si ricava dunque
$ x^2+(81/4)=16 =0rArr x^2=16-(81/4) $
Che non ha radici reali. Perché?
Oltretutto anche con Wolfram mi dice che non ci sono punti critici, allego il file.
Applicando il metodo dei Moltiplicatori ottieni il sistema
\begin{align}
\begin{cases}
-2x-2\lambda x=0\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}=\begin{cases}
x(1-\lambda )=0\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}&=\begin{cases}
x =0\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}\cup \begin{cases}
\lambda =1\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}\\
&=\begin{cases}
x =0\\
y =\pm 4
\end{cases}\cup \begin{cases}
\lambda =1\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}=\emptyset
\end{align}
e dovresti trovare i punti di prima.
\begin{align}
\begin{cases}
-2x-2\lambda x=0\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}=\begin{cases}
x(1-\lambda )=0\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}&=\begin{cases}
x =0\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}\cup \begin{cases}
\lambda =1\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}\\
&=\begin{cases}
x =0\\
y =\pm 4
\end{cases}\cup \begin{cases}
\lambda =1\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}=\emptyset
\end{align}
e dovresti trovare i punti di prima.
"Noisemaker":
Applicando il metodo dei Moltiplicatori ottieni il sistema
\begin{align}
\begin{cases}
-2x-2\lambda x=0\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}=\begin{cases}
x(1-\lambda )=0\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}&=\begin{cases}
x =0\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}\cup \begin{cases}
\lambda =1\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}\\
&=\begin{cases}
x =0\\
y =\pm 4
\end{cases}\cup \begin{cases}
\lambda =1\\
9-2\lambda y=0\\
x^2+y^2=16
\end{cases}=\emptyset
\end{align}
e dovresti trovare i punti di prima.
Ah, ho capito l'errore grazie. Diamine, era proprio una banalità, non ho considerato che la prima equazione si annullava con x=0. Che stupido!
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