Esercizio algebra lineare

[Benz]

ex.

Data A=(V1,V2,V3,V4) € M4x4 (C) tale che det(A) = 2+i, calcolare det(B) dove
B=(V2-iV4, V3-3V4, 2V1+iV2, 2V1-iV3).


Qualcuno ha la minima idea di come si possa risolvere questo esercizio? e' tratto da un esame scritto di algebra lineare di ingegnieria..


Benz

Aggiunto 4 ore 37 minuti più tardi:

Ottimo :), risultato esatto, ti ringrazio infinitamente..

ahm, almeno evito di aprire un altro topic, ho un altro tipo di esercizio che non riesco a capire e ne a trovare una spiegazione logica...

ex. Dati 10 polinomi che generano {p(z) € C

[ciampax]

Allora, vediamo se ho capito: hai una matrice

[math]A\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C})[/math]

che è formata dai vettori colonna

[math]V_k,\ k=1,2,3,4[/math]

e sai che

[math]\det(A)=2+i[/math]

. A questo punto ti chiede di determinare il determinante della matrice

[math]B=(V_2-i V_4\ V_3-3V_4\ 2V_1+iV_2\ 2V_1-iV_3)[/math]

Per poter risolvere un esercizio del genere, devi ricordare alcune proprietà di "linearità" del determinate:

Se una colonna (riga) della matrice è fatta di soli zeri

[math]\det(C)=0[/math]

Se due colonne (righe) sono proporzionali allora

[math]\det(C)=0[/math]

Se

[math]C=(W_1\ W_2\ \ldots W_{k-1}\ aW^1_{k}+bW^2_{k}\ W_{k+1}\ \ldots\ W_n)[/math]

allora

[math]\det(C)=a\det(W_1\ W_2\ \ldots W_{k-1}\ W^1_{k}\ W_{k+1}\ \ldots\ W_n)+\\ b\det(W_1\ W_2\ \ldots W_{k-1}\ W^2_{k}\ W_{k+1}\ \ldots\ W_n)[/math]

Se una matrice viene modificata attraverso lo scambio di due colonne (righe), detta

[math]C_1[/math]

la matrice che si ottiene allora

[math]\det(C_1)=-\det(C)[/math]

Ottieni allora

[math]\det(B)=\det(V_2\ V_3-3V_4\ 2V_1+iV_2\ 2V_1-iV_3)+\\ \det(-iV_4\ V_3-3V_4\ 2V_1+iV_2\ 2V_1-iV_3)=[/math]

[math]=\det(V_2\ V_3\ 2V_1+iV_2\ 2V_1-iV_3)+\\ \det(V_2\ -3V_4\ 2V_1+iV_2\ 2V_1-iV_3)+\\ \det(-iV_4\ V_3\ 2V_1+iV_2\ 2V_1-iV_3)+\\ \det(-iV_4\ -3V_4\ 2V_1+iV_2\ 2V_1-iV_3)[/math]

(l'ultimo determinate è nullo perché le prime due colonne sono proporzionali)

[math]=\det(V_2\ V_3\ 2V_1\ 2V_1-iV_3)+\\ \det(V_2\ V_3\ iV_2\ 2V_1-iV_3)+\\ \det(V_2\ -3V_4\ 2V_1\ 2V_1-iV_3)+\\ \det(V_2\ -3V_4\ iV_2\ 2V_1-iV_3)+\\ \det(-iV_4\ V_3\ 2V_1\ 2V_1-iV_3)+\\ \det(-iV_4\ V_3\ iV_2\ 2V_1-iV_3)[/math]

(il secondo determinate è nullo perché la prima e la terza colonna sono proporzionali e lo stesso accade nel quarto determinate)

[math]=\det(V_2\ V_3\ 2V_1\ 2V_1)+\\ \det(V_2\ V_3\ 2V_1\ iV_3)+\\ \det(V_2\ -3V_4\ 2V_1\ 2V_1)+\\ \det(V_2\ -3V_4\ 2V_1\ -iV_3)+\\ \det(-iV_4\ V_3\ 2V_1\ 2V_1)+\\ \det(-iV_4\ V_3\ 2V_1\ -iV_3)+\\ \det(-iV_4\ V_3\ iV_2\ 2V_1)+\\ \det(-iV_4\ V_3\ iV_2\ -iV_3)[/math]

e cancellando tutti i determinanti in cui si trovano colonne ripetute

[math]=\det(V_2\ -3V_4\ 2V_1\ -iV_3)+\\ \det(-iV_4\ V_3\ iV_2\ 2V_1)=[/math]

[math]=6i\det(V_2\ V_4\ V_1\ V_3)+2\det(V_4\ V_3\ V_2\ V_1)=[/math]

rimettendo in ordine le colonne

[math]=6i\cdot(-1)^3\det(A)+2\cdot(-1)^6\det(A)=\\-6i(2+i)+2(2+i)=-12i+6+4+2i=10-10i[/math]

Aggiunto 3 ore 38 minuti più tardi:

La base canonica di

[math]P_n(\mathbb{K})[x][/math]

(che indica l'insieme dei polinomi nell'incognita

[math]x[/math]

a coefficienti di grado minore o uguale a

[math]n[/math]

) è data dall'insieme seguente

[math]\mathcal{B}=\{x^k\ :\ 0\leq k\leq n\}[/math]

ne segue che

[math]\dim(P_n(\mathbb{K})[x])=n+1[/math]

, per cui il tuo ragionamento è errato (ce ne vorrebbero otto, per una base, e quindi dovresti eliminarne due).

Perché la risposta giusta è tre? Perché quella che stai cercando non è la base di tutto l'insieme di cui sopra, bensì di un suo sottoinsieme (che è pure un sottospazio):

[math]A=\{p(z)\in P_n(\mathbb{C})[z]\ :\ p(i)=p'(-i)\}[/math]

il quale è determinato da una condizione in più che fa diminuire di 1 il numero totale di polinomi da scegliere. Per cui il numero di polinomi necessari per la base risulta 7 e quindi vanno eliminati 3 polinomi.