Esercizio
Dimostrare o confurare che:
esiste $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f \in \mathcal{C}^1, | f' | \leq 1, f(-1)=f(1)=0, f(0)=1$.
Scusatemi se è un esercizio stupido, ma non mi viene in mente come risolverlo... Mi troverei di confutare, perchè immagino che debba esserci una singolarità nella derivata in zero per una funzione fatta così. Ma non mi viene in mente come procedere...
esiste $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f \in \mathcal{C}^1, | f' | \leq 1, f(-1)=f(1)=0, f(0)=1$.
Scusatemi se è un esercizio stupido, ma non mi viene in mente come risolverlo... Mi troverei di confutare, perchè immagino che debba esserci una singolarità nella derivata in zero per una funzione fatta così. Ma non mi viene in mente come procedere...
Risposte
Ci hai visto bene. Infatti il primo tratto del grafico della funzione deve per forza trovarsi sulla retta che unisce $(-1,0)$ con $(0,1)$, che ha equazione $y=x+1$. Come dimostrarlo?
Supponiamo per assurdo che esista un punto del grafico $(x_0, x_0 +1 + delta)$ con $-10$. La retta che unisce il punto $(-1,0)$ con quest'altro ha coefficiente angolare
$m=(x_0+1+delta)/(x_0 + 1) > 1$
Per il teorema di Lagrange esiste un punto sull'asse x, tra $-1$ e $x_0$, in cui il valore della derivata della funzione è pari a quello della secante, quindi maggiore di $1$, contro l'ipotesi. Dunque non è possibile, nel primo tratto, che un punto si trovi sopra la retta $y=x+1$.
Supponiamo per assurdo che possa trovarsi al di sotto della retta $y=x+1$, quindi $(x_0, x_0 +1 - delta)$ con $-10$. Allora questa volta calcoliamo il coefficiente angolare della retta che unisce questo punto con $(0,1)$:
$m=(1 - (x_0+1-delta))/(0-x_0) = (x_0 -delta)/(x_0) = 1 - (delta)/(x_0) > 1$.
Quindi si ha nuovamente una contraddizione con l'ipotesi, per il teorema di Lagrange.
Allora nel primo tratto la funzione deve coincidere con $y=x+1$.
Analogamente, nel secondo tratto, si prova che la funzione deve coincidere con $y=-x+1$.
Dunque si ha una funzione con uno spigolo in $x=0$.
Supponiamo per assurdo che esista un punto del grafico $(x_0, x_0 +1 + delta)$ con $-1
$m=(x_0+1+delta)/(x_0 + 1) > 1$
Per il teorema di Lagrange esiste un punto sull'asse x, tra $-1$ e $x_0$, in cui il valore della derivata della funzione è pari a quello della secante, quindi maggiore di $1$, contro l'ipotesi. Dunque non è possibile, nel primo tratto, che un punto si trovi sopra la retta $y=x+1$.
Supponiamo per assurdo che possa trovarsi al di sotto della retta $y=x+1$, quindi $(x_0, x_0 +1 - delta)$ con $-1
$m=(1 - (x_0+1-delta))/(0-x_0) = (x_0 -delta)/(x_0) = 1 - (delta)/(x_0) > 1$.
Quindi si ha nuovamente una contraddizione con l'ipotesi, per il teorema di Lagrange.
Allora nel primo tratto la funzione deve coincidere con $y=x+1$.
Analogamente, nel secondo tratto, si prova che la funzione deve coincidere con $y=-x+1$.
Dunque si ha una funzione con uno spigolo in $x=0$.
Grazie mille, hai formalizzato l'idea che avevo ma che non sapevo come dimostrare. Il secondo assurdo che supponi è l'esistenza del punto $(x_0,x_0+1-\delta)$ e non $ (x_0,x_0+1+\delta)$. Hai sicuramente sbagliato solo a trascrivere, ma ti correggo nel caso l'esercizio possa essere utile e qualcun altro 
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Sì, corretto, grazie.
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