Esercizio
Salve a tutti ragazzi....ho per le mani un esercizio complicato o almeno cosi a me sembra..il testo è il seguente
$ lim n -> oo )int_(pi/2)^(oo) sin(x)^(2n+1)/x dx $ qualcuno ha idea di cosa si può prendere come funzione maggiorante g tale da portare il segno di limite sotto l'integrale...la soluzione del problema è che l'integrale è uguale a 0.
$ lim n -> oo )int_(pi/2)^(oo) sin(x)^(2n+1)/x dx $ qualcuno ha idea di cosa si può prendere come funzione maggiorante g tale da portare il segno di limite sotto l'integrale...la soluzione del problema è che l'integrale è uguale a 0.
Risposte
Osserva che $|f_n|$ converge monotonamente alla funzione nulla q.o. sulla semiretta data (più precisamente, converge a $1/x$ nei punti dove $|\sin x| = 1$, mentre converge a $0$ in tutti gli altri punti).
(EDIT)
Basterebbe dunque trovare un indice $n$ per il quale $|f_n|$ è sommabile.
Direi però che nessuna delle $|f_n|$ è sommabile, poiché
$\int_{\pi}^{N\pi} |f_n| \ge \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x|^{2n+1} dx = C\sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k}$,
e quest'ultima quantità diverge a $+\infty$ quando $N\to +\infty$.
Non c'è dunque speranza di applicare il teorema di convergenza dominata.
Per calcolare il limite degli integrali devi usare qualche altro metodo.
(EDIT)
Basterebbe dunque trovare un indice $n$ per il quale $|f_n|$ è sommabile.
Direi però che nessuna delle $|f_n|$ è sommabile, poiché
$\int_{\pi}^{N\pi} |f_n| \ge \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x|^{2n+1} dx = C\sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k}$,
e quest'ultima quantità diverge a $+\infty$ quando $N\to +\infty$.
Non c'è dunque speranza di applicare il teorema di convergenza dominata.
Per calcolare il limite degli integrali devi usare qualche altro metodo.
"Rigel":
Non c'è dunque speranza di applicare il teorema di convergenza dominata.
Invece penso che si possa applicare procedendo con un integrazione per parti solo che il conto potrebbe rivelarsi assai complicato....
"Mate90":
[quote="Rigel"]
Non c'è dunque speranza di applicare il teorema di convergenza dominata.
Invece penso che si possa applicare procedendo con un integrazione per parti solo che il conto potrebbe rivelarsi assai complicato....[/quote]
Ribadisco quanto detto:
non è possibile applicare il teorema di convergenza dominata; l'esistenza del limite, e il fatto che valga $0$, va dimostrato in altro modo.
Una possibilità, come dici tu, è procedere con una integrazione per parti (facendo così comparire un $x^2$ a denominatore); è un procedimento un po' macchinoso.
E' anche possibile scrivere $\int_{\pi}^{N\pi}...$ come una sommatoria a termini di segno alterno, con valore assoluto del termine generale decrescente e tendende a $0$; in particolare viene una sommatoria del tipo
$C_n \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$,
e quindi la corrispondente serie converge per il criterio di Leibnitz.
Poi occorre usare il fatto che $C_n\to 0$ per $n\to +\infty$.
"Rigel":
[quote="Mate90"][quote="Rigel"]
Non c'è dunque speranza di applicare il teorema di convergenza dominata.
Invece penso che si possa applicare procedendo con un integrazione per parti solo che il conto potrebbe rivelarsi assai complicato....[/quote]
Una possibilità, come dici tu, è procedere con una integrazione per parti (facendo così comparire un $x^2$ a denominatore); è un procedimento un po' macchinoso.
E' anche possibile scrivere $\int_{\pi}^{N\pi}...$ come una sommatoria a termini di segno alterno, con valore assoluto del termine generale decrescente e tendende a $0$; in particolare viene una sommatoria del tipo
$C_n \sum_{k=1}^{N-1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$,
e quindi la corrispondente serie converge per il criterio di Leibnitz.
Poi occorre usare il fatto che $C_n\to 0$ per $n\to +\infty$.[/quote]
Il criterio di Leibenitz è l'analogo di quello di Abel per le serie numeriche? ( scusa l'ignoranza )
"Rigel":
http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Leibniz
Ok ci sono ti mostro alcuni passaggi che ho fatto con l'integrazione per parti portando un x^2 sotto il segno di integrale
allora:
$ int sin(x)(2n+1)/x dx = int (sinx (1-cosx^2)^(2n))/x)dx=$
$int (sinxsum_(k = 0 )^(k = 2n)( ( n ),( k ) )(-1)^(n-k)cosx^(2k))dx = $ $ sum_(k = 0 )^(k = 2n)(( ( n ),( k ) )(-1)^(n-k)/(2k+1)*cosx^(2k+1)/x)+$$sum_(k = 0 )^(k = 2n)( ( n ),( k ) )(-1)^(n-k)/(2k+1)int (cosx)^(2k+1)/(x^2) $=
$ =sum_(k = 0 )^(k = 2n)(( ( n ),( k ) )(-1)^(n-k)/(2k+1)*cosx^(2k+1)/x)+sum_(k = 0 )^(k = 2n)( ( n ),( k ) )(-1)^(n-k)/(2k+1)int (cosx)^(2k+1)/(x^2) $
Ora volevo chiederti ottenuto questo risultato cosa posso dire?? posso mettere un segno di minore uguale e se si come? devo integrare di nuovo per parti? ottenendo sotto l'integrale un segno x^3 cosi ke la sommatoria degli integrali converga assolutamente?
scusami quando porto il binomiale fuori per parti è 1/ binomiale (n su k)
Per evitare il suicidio forse conviene utilizzare lo stesso metodo ma in maniera un po' meno diretta.
Come hai già notato, quando effettui l'integrazione per parti ti saltano fuori le primitive di $(\sin x)^{2n+1}$; col cambiamento di variabili $t = \cos x$ queste si riconducono a integrali del tipo
$(1)\qquad I_n(t) := \int_0^t (1-s^2)^n ds$, con $t\in [-1,1]$.
Integrando per parti puoi ottenere una formula di ricorrenza per $I_n$:
$I_n(t) = t(1-t^2)^n + 2n\int_0^t s^2 (1-s^2)^{n-1}ds = t(1-t^2)^n - 2n I_n(t) + 2n I_{n-1}(t)$.
Da qui ricavi subito
$(2) \qquad I_n(t) = \frac{1}{2n+1} [2n I_{n-1}(t) + t(1-t^2)^n]$.
Dalla definizione, le $I_n$ sono funzioni dispari, monotone crescenti; inoltre, $I_n(t)\ge 0$ per $t\in [0,1]$. Di conseguenza
$\max_{|t|\le 1} |I_n(t)| = I_n(1)$.
Dalla (2) vedi subito che
$I_n(1) = \frac{2n}{2n+1} I_{n-1}(1)$.
Dal momento che $I_0(1) = 1$, ottieni infine che
$(3)\qquad \max_{|t|\le 1} |I_n(t)| \le \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$,
dove, come al solito, $k!! = k (k-2)(k-4) .... $ è il semifattoriale dell'intero positivo $k$.
Puoi verificare che
$(4) \qquad \lim_{n\to +\infty} \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}= 0$.
Torniamo adesso al problema di partenza. Integrando per parti:
$\int_{\pi/2}^{\infty}\frac{(\sin x)^{2n+1}}{x} dx = -[\frac{I_n(\cos x)}{x}]_{\pi/2}^{\infty} - \int_{\pi/2}^{\infty} \frac{I_n(\cos x)}{x^2} dx$.
Il termine di bordo è nullo per ogni $n$.
D'altra parte, l'integrale a secondo membro si stima utilizzando (3) e poi passando al limite con (4):
$ |\int_{\pi/2}^{\infty} \frac{I_n(\cos x)}{x^2} dx| \le \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \int_{\pi/2}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx \to 0$ per $n\to +\infty$.
Come hai già notato, quando effettui l'integrazione per parti ti saltano fuori le primitive di $(\sin x)^{2n+1}$; col cambiamento di variabili $t = \cos x$ queste si riconducono a integrali del tipo
$(1)\qquad I_n(t) := \int_0^t (1-s^2)^n ds$, con $t\in [-1,1]$.
Integrando per parti puoi ottenere una formula di ricorrenza per $I_n$:
$I_n(t) = t(1-t^2)^n + 2n\int_0^t s^2 (1-s^2)^{n-1}ds = t(1-t^2)^n - 2n I_n(t) + 2n I_{n-1}(t)$.
Da qui ricavi subito
$(2) \qquad I_n(t) = \frac{1}{2n+1} [2n I_{n-1}(t) + t(1-t^2)^n]$.
Dalla definizione, le $I_n$ sono funzioni dispari, monotone crescenti; inoltre, $I_n(t)\ge 0$ per $t\in [0,1]$. Di conseguenza
$\max_{|t|\le 1} |I_n(t)| = I_n(1)$.
Dalla (2) vedi subito che
$I_n(1) = \frac{2n}{2n+1} I_{n-1}(1)$.
Dal momento che $I_0(1) = 1$, ottieni infine che
$(3)\qquad \max_{|t|\le 1} |I_n(t)| \le \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$,
dove, come al solito, $k!! = k (k-2)(k-4) .... $ è il semifattoriale dell'intero positivo $k$.
Puoi verificare che
$(4) \qquad \lim_{n\to +\infty} \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}= 0$.
Torniamo adesso al problema di partenza. Integrando per parti:
$\int_{\pi/2}^{\infty}\frac{(\sin x)^{2n+1}}{x} dx = -[\frac{I_n(\cos x)}{x}]_{\pi/2}^{\infty} - \int_{\pi/2}^{\infty} \frac{I_n(\cos x)}{x^2} dx$.
Il termine di bordo è nullo per ogni $n$.
D'altra parte, l'integrale a secondo membro si stima utilizzando (3) e poi passando al limite con (4):
$ |\int_{\pi/2}^{\infty} \frac{I_n(\cos x)}{x^2} dx| \le \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \int_{\pi/2}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx \to 0$ per $n\to +\infty$.
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