Esercizio
Un esercizio che appartiene al folklore matematico: Dimostrare che se $E$ e' un insieme di reali non negativi e $\sum_{x \in E} x < oo$ allora l'insieme ${ x \in E : x \ne 0 }$ e' (al piu') numerabile.
Risposte
Non è chiaro cosa intendi per somma degli $x$ quando $E$ non è numerabile....
Ovviamente intendo il sup delle somme finite...
Ok, posto anche la soluzione.
Supponiamo $\sum_{x \in E} x < oo$ e sia, per ogni intero positivo $n$, $F_n = { x \in E : x > 1/n }$. Per assurdo, esista $n_0$ tale che $F_{n_0}$ sia infinito. Allora, scelto $M > 0$ e posto $k = n_0 M$, esistono $x_1, \ldots, x_k \in E$, a due a due distinti, tali che $x_i > 1/n_0$ per $i = 1, \ldots, k$. Ma allora $\sum_{x \in E} x >= \sum_{i = 1}^k x_i > 1/n_0 k = M$, sicche' per l'arbitrarieta' di $k$ $\sum_{x \in E} x = oo$. Da tale contraddizione segue che $F_n$ e' finito per ogni $n$, e quindi che ${ x \in E : x \ne 0 } = \cup F_n$ e' al piu' numerabile.
Supponiamo $\sum_{x \in E} x < oo$ e sia, per ogni intero positivo $n$, $F_n = { x \in E : x > 1/n }$. Per assurdo, esista $n_0$ tale che $F_{n_0}$ sia infinito. Allora, scelto $M > 0$ e posto $k = n_0 M$, esistono $x_1, \ldots, x_k \in E$, a due a due distinti, tali che $x_i > 1/n_0$ per $i = 1, \ldots, k$. Ma allora $\sum_{x \in E} x >= \sum_{i = 1}^k x_i > 1/n_0 k = M$, sicche' per l'arbitrarieta' di $k$ $\sum_{x \in E} x = oo$. Da tale contraddizione segue che $F_n$ e' finito per ogni $n$, e quindi che ${ x \in E : x \ne 0 } = \cup F_n$ e' al piu' numerabile.
Si noti anche che la definizione di somma da me indicata (e che e' ovviamente quella piu' naturale) puo' anche scriversi cosi': $\sum_{x \in E} x = \lim_{\mathcal F} { \sum_{x \in F} x : F \in \mathcal F }$, dove $\mathcal F$ e' la famiglia dei sottoinsiemi finiti di $E$, diretto dall'inclusione.
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