Esercizio 1 su uno studio qualitativo di ODE

[mklplo751]

Salve. Dopo aver terminato gli esami del secondo anno di Matematica, ho deciso di anticiparmi alcune cose dato che il prossimo anno è ricco di corsi ed esami e la cosa che più mi sta dando problemi è lo studio qualitativo di equazioni differenziali ordinarie non autonome. Ho iniziato con questo esercizio presoo dal materiale didattico del mio (futuro) professore:
Si consideri l'intervallo massimale $ (a,b)$ del seguente problema di Cauchy
$ { ( u'(t)= log(t)-t-log(u) ),( u(1)=c ):} $
Si dica se al variare di $c>0$ se $b$ è finito o infinito e discutere l'andamento della soluzione in $ [1,b)$
Si dica se al variare di $c\geq 1$ se $a$ è positivo o nullo e si dica se per $t->a$ il limite di $u(t)$ esiste finito, infinito oppure non esiste.

Io ho proceduto così:

(1)Il campo è di classe $C^1$ nel suo dominio di definizione e dunque ho immediatamente esistenza e unicità locale, oltre che la regolarità delle soluzioni.
(2)Notiamo che $u'(t) \geq 0$ se e solo se $0 (3) Supponiamo $c>e^{-1}$ e supponiamo che l'insieme $A=\{t \in [1,b): u(t) \leq t e^{-t}\}$ sia diverso dal vuoto. Allora, poichè A è controimmagine attraverso una funzione continua di un chiuso dunque è chiuso e dunque essendo limitato inferiormente posso considerare il suo minimo $\tau$. Allora supponiamo che esista $ \delta >0$ tale che $\forall t \in [\tau, \tau + \delta)$ $u(t)0$ in questo intervallo allora $\tau e^{-\tau}=u(\tau)

Per adesso non sono riuscito a fare di più, anche perchè nel punto (3) non riesco a raggiungere un assurdo che mi permetta di concludere l'esistenza della soluzione per ogni tempo futuro indipendentemente dalla costante $c$. Per com'è fatto il campo io mi aspetterei che la funzione sia definita sull'intero intervallo dei reali positvi e che la funzione $e^t t$ sia una "barriera" che non può mai essere raggiunta se non asintoticamente, ma effettivamente non so se questa intuizione è corretta e comunque non mi viene il modo di dimostarlo.

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Risposte

dissonance

4 lug 2022, 13:59

Ma come fai a fare gli esercizi prima ancora di seguire il corso? Non mi sembra una strategia molto valida. Prima devi studiare la teoria.

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mklplo751

4 lug 2022, 14:06

Infatti la teoria l'ho vista, grazie alle registrazioni dell'anno passato. Quando nelle registrazioni il prof si è fermato con la prima parte di teoria, tanto ho iniziato gli esercizi.
I teoremi che ha spiegato sono: esistenza e unicità locale e globale, prolungabilità, asintoto, confronto, Gronwall e regolarità.

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mklplo751

5 lug 2022, 07:44

Forse mi viene come dire qualcosa in più anche se ancora non capisco come rispondere a tutte le domande.

Notiamo che $lim_{t->b} u(t)$ non può essere infinito, infatti se così fosse esisterebbe $M>0$ tale che $u(t)>e^{-1}$ $\forall t>M$ e dunque, poichè $t*e^{-t}1$ si ha che $u(t)>te^{-t}$ per ogni $t$ maggiore del massimo tra $M$ e $1$ e allora, la funzione $u$ sarà sempre decrescente e non potrà andare all'infinito. Dunque se per assurdo $b$ fosse finito, si avrebbe che se $lim_{t->b} u(t)=0$ allora $lim_{t->b} u'(t)=+oo$ il che è assurdo per il criterio dell'asintoto, mentre se $lim_{t->b} u(t)=l$ potrei prolungare è b dunque non sarebbe l'estremo superiore dell'intervallo massimale, in tutti i casi dunque necessariamente b deve essere infinito.
Ora consideriamo l'insieme $A'=\{t \in (-oo,1]:u(t)\leq te^{-t}\}$ poichè è chiuso e limitato superiormente, posso considerate $\tau$ massimo di $A'$, allora $u(\tau)=\tau e^{-\tau}$ allora necessariamente $\forall 1\geq t> \tau$ $u(t)>e^{-t}t$ allora $u'(t)<0$ allora la $u(t)$ sarà decrescente, allora $\tau e^{-tau}=u(\tau)>u(t)>e^{-t}t$ il che è assurdo dato che $t e^{-t}$ è crescente in questo intervallo. Dunque se $c>e^{-1}$, $u(t)\geq te^{-t}$ dunque si terrà sempre decrescente e positiva e dunque $lim_{t->a} u(t)$ sarà diverso da 0, inoltre sarà proprio il sup dell'insieme delle immagini di $u(t)$ e dunque se $ a$ è positivo quel limite sarà necessariamente infinito.
Riassumendo: indipendentemente da $c$ la soluzione a destra si può prolungare indefinitavamente, inoltre se $c>e^{-1}$ ho che questa soluzione al più può coincidere con $te^{-t}$ ma non può mai scendere sotto, inoltre per monotonia il limite per $b->+oo$ è l'estremo inferiore dell'insieme delle immagini in questo caso, mentre non sono riuscito a concludere sulla prolungabilità verso sinistra se non a dire a cosa non può essere uguale il limite.

Edit: forse per escludere altre possibilità dovrei passare a comparare le derivate di $u(t)$ e $te^{-t}$ nei punti in cui si incontrano per vedere se tale incontro è possibile o se causa problemi.
Tale approccio è corretto? C'è un modo più "pulito" per fare quest'analisi?

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[dissonance]

Ma come fai a fare gli esercizi prima ancora di seguire il corso? Non mi sembra una strategia molto valida. Prima devi studiare la teoria.

[mklplo751]

Infatti la teoria l'ho vista, grazie alle registrazioni dell'anno passato. Quando nelle registrazioni il prof si è fermato con la prima parte di teoria, tanto ho iniziato gli esercizi.
I teoremi che ha spiegato sono: esistenza e unicità locale e globale, prolungabilità, asintoto, confronto, Gronwall e regolarità.

[mklplo751]

Forse mi viene come dire qualcosa in più anche se ancora non capisco come rispondere a tutte le domande.

Notiamo che $lim_{t->b} u(t)$ non può essere infinito, infatti se così fosse esisterebbe $M>0$ tale che $u(t)>e^{-1}$ $\forall t>M$ e dunque, poichè $t*e^{-t}1$ si ha che $u(t)>te^{-t}$ per ogni $t$ maggiore del massimo tra $M$ e $1$ e allora, la funzione $u$ sarà sempre decrescente e non potrà andare all'infinito. Dunque se per assurdo $b$ fosse finito, si avrebbe che se $lim_{t->b} u(t)=0$ allora $lim_{t->b} u'(t)=+oo$ il che è assurdo per il criterio dell'asintoto, mentre se $lim_{t->b} u(t)=l$ potrei prolungare è b dunque non sarebbe l'estremo superiore dell'intervallo massimale, in tutti i casi dunque necessariamente b deve essere infinito.
Ora consideriamo l'insieme $A'=\{t \in (-oo,1]:u(t)\leq te^{-t}\}$ poichè è chiuso e limitato superiormente, posso considerate $\tau$ massimo di $A'$, allora $u(\tau)=\tau e^{-\tau}$ allora necessariamente $\forall 1\geq t> \tau$ $u(t)>e^{-t}t$ allora $u'(t)<0$ allora la $u(t)$ sarà decrescente, allora $\tau e^{-tau}=u(\tau)>u(t)>e^{-t}t$ il che è assurdo dato che $t e^{-t}$ è crescente in questo intervallo. Dunque se $c>e^{-1}$, $u(t)\geq te^{-t}$ dunque si terrà sempre decrescente e positiva e dunque $lim_{t->a} u(t)$ sarà diverso da 0, inoltre sarà proprio il sup dell'insieme delle immagini di $u(t)$ e dunque se $ a$ è positivo quel limite sarà necessariamente infinito.
Riassumendo: indipendentemente da $c$ la soluzione a destra si può prolungare indefinitavamente, inoltre se $c>e^{-1}$ ho che questa soluzione al più può coincidere con $te^{-t}$ ma non può mai scendere sotto, inoltre per monotonia il limite per $b->+oo$ è l'estremo inferiore dell'insieme delle immagini in questo caso, mentre non sono riuscito a concludere sulla prolungabilità verso sinistra se non a dire a cosa non può essere uguale il limite.

Edit: forse per escludere altre possibilità dovrei passare a comparare le derivate di $u(t)$ e $te^{-t}$ nei punti in cui si incontrano per vedere se tale incontro è possibile o se causa problemi.
Tale approccio è corretto? C'è un modo più "pulito" per fare quest'analisi?