Esercizietti serie.

[_GaS_11]

Se sarà, metterò in questo post altri esercizi dello stesso tipo. Più che altro, avendo poca esperienza con tali esercizi, mi interessa sapere se i metodi risolutivi sono corretti.
Comincio con il seguente:
- Stabilire il carattere della serie: $sum_{n=1}^(+oo)(sqrtn+log(n^2+3))/(nlogn+1)$.
La successione '' $a_n~(sqrtn+2logn)/(nlogn)~(2logn)/(nlogn)=2/n$ ''. Ciò è stato ricavato dal limite notevole: $n^b/(log^an)tooo,a>0,b>0$.
Per '' $ntooo$ '': $sum_{n=1}^(+oo)a_ntosum_{n=1}^(+oo)2/n>sum_{n=1}^(+oo)1/ntooo$.
Quindi '' $sum_{n=1}^(+oo)a_ntooo$ ''.
Ecco tutto.

[ciampax]

Il limite notevole che citi ti permette di affermare che
$$\sqrt{n}+2\log n\sim\sqrt{n}$$

[_GaS_11]

Ops...è vero. Comunque:
$a_n~sqrtn/(nlogn)=1/(sqrtnlogn)$. In virtù di quel limite notevole: $logn $1/n=1/sqrtn1/sqrtn<1/sqrtn1/(logn)$. Quindi:
$sum_{n=1}^(+oo)a_n>sum_{n=1}^(+oo)1/n=+oo$. Da cui la divergenza della serie.
Mi interessa sapere se questo tipo di confronto garantisce la soluzione dell'esercizio.
Ti ringrazio.

[ciampax]

Certo che sì: hai usato il teorema del confronto nelle sue due forme, e questo è un criterio che garantisce sempre la convergenza o la divergenza della serie analizzata, nel caso tu lo possa applicare. O forse non ho capito cosa intendi....

[_GaS_11]

Sì, intendevo proprio quello.
Avevo un dubbio relativo al fatto che la serie tende ad avere come argomento '' $1/(sqrtnlogn)$ '' per '' $ntooo$ ''.
Però si risolve, poiché ( tendendo a quel valore ): $EEn_0:AAn>=n_0,a_n>1/n_0$. '' $a_n$ '' è il termine della serie originale.
Da cui la divergenza grazie al teorema del confronto.
Ricordiamo che '' $n_0$ '' è finito, quindi fin lì la somma è finita. Ma ci sono infiniti termini dopo '' $a_(n_0)$ '' e la loro somma è infinita, per il confronto.